Hausübung 11 Aufgabe 1, 3x3 Matrizen wie?

[Ibliss]

Guten Morgen,
in der Aufgabenstellung sorgt bei mir dieser Satz für Verwirrung : "Verwenden Sie dazu inhomogene 3x3-Matrizen und lassen diese auf einen Vektor v = (v x , v y , v z ) wirken.
".
Mir ist klar dass ich mit einem Beispiel zeigen muss dass auf den Folien beschriebene Transformation doch kommutativ ist für eine spezielle Translation, aber wie soll ich die Translation des Vektors v mit einer 3x3 Matrix darstellen? Matrix die bei der Multiplikation mit dem Vektor v eine Translation dieses Vektors bewirken soll muss doch 4x4 sein, und der Vektor v muss dann unbedingt in die homogene Form umgewandelt werden.

Ich bitte um eine kurze Erklärung.

[todie]

Hallo,

nein, eine Translation ist, so wie alle affinen Transformationen, auch in der inhomogenen Schreibweise möglich (vgl. Folie 15). Auf gut Deutsch ist eine Translation ja auch nur eine Addition eines festen Wertes auf die Koordinaten des Vektors. Zu zeigen ist jetzt, dass es in einem speziellen Fall egal ist, ob man erst den Translationsanteil addiert und dann skaliert oder ob man erst skaliert und dann den Translationsanteil addiert (zum Beispiel, andere Variationen sind auch möglich).

Gruß,

Thorsten

[rainbow]

Ich zitiere mich mal selbst aus dem anderen Thread, da dort nicht geantwortet wurde:

Bei der Rotation sollen wir vermutlich die um eine beliebige Raumachse nehmen, oder?

Kann man bei der Wahl der "speziellen Translation", die kommutativ ist, die triviale nehmen?

[mister_tt]

nein, eine Translation ist, so wie alle affinen Transformationen, auch in der inhomogenen Schreibweise möglich (vgl. Folie 15). Auf gut Deutsch ist eine Translation ja auch nur eine Addition eines festen Wertes auf die Koordinaten des Vektors

Jaha, das ist schon richtig und das sieht man auch auf Folie 15. Aber das, was auf Folie 15 die Translation beschreibt, ist doch eigentlich der additive Teil. Die Matrix \(a_{ij}\) hat damit ja reichlich wenig zu tun. Das Problem, das ich damit habe ist, dass ich gerne EINE 3x3 Matrix für eine Translation haben würde (ohne additiven Anteil), weil ich diese für meinen Beweis gerne mit der 3x3 Matrix der Rotation multiplizieren würde...

[rainbow]

Im R^3 wird eine Translation aber nunmal durch Addition eines 3-dimensionalen Vektors gemacht. In eine Matrix dazupacken kannst du die erst in homogenen Koordinaten.

Ist aber doch kein Problem, oder? Einmal wird halt zuerst der Verschiebungsvektor draufaddiert und dann die Rotationsmatrix dranmultipliziert, und das andere Mal umgekehrt.

[mister_tt]

Wie ich jetzt gelernt habe, kann man auch eine Translation als 3x3 Matrix ausdrücken...

[rainbow]

So, wie denn?

[mister_tt]

\(\begin{pmatrix} 1 & 0 & x_0 \\ 0 & 1 & y_0 \\ 0 & 0 & z_0 \end{pmatrix}\)

[Tigger]

\(\begin{pmatrix} 1 & 0 & x_0 \\ 0 & 1 & y_0 \\ 0 & 0 & z_0 \end{pmatrix}\)

Und was ist wenn ich auf den Vektor (0,0,0) den Vektor (1,1,1) addieren möchte? Wie sieht dann die zugehörige Rechnung aus?

[oliver_g]

\(\begin{pmatrix} 1 & 0 & x_0 \\ 0 & 1 & y_0 \\ 0 & 0 & z_0 \end{pmatrix}\)

Ist äußerst minimalistisch bzw ungenau, kann das also falsch gedeutet haben. Jedenfalls funktioniert das nicht:
\(\begin{pmatrix}1 & 0 & 3 \\ 0 & 1 & 2 \\ 0 & 0 & 7 \end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix}4 \\ 3 \\ 8 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 28 \\ 19 \\ 56 \end{pmatrix} \neq \begin{pmatrix} 7 \\ 6 \\ 15 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 4 \\ 3 \\ 8 \end{pmatrix} + \begin{pmatrix} 3 \\ 2 \\ 7 \end{pmatrix}\)

Dafür sind nämlich die homogenen Koordinaten da. Die 1 an der vierten Stelle sorgt bezüglich Translation für eine korrekte Multiplikation.

[mister_tt]

Bin mir auch nicht 100-prozentig sicher, ob das stimmt... Man müsste die Werte \(x_0, y_0, z_0\) halt noch etwas anpassen, weil
\(\begin{pmatrix} 1 & 0 & x_0 \\ 0 & 1 & y_0 \\ 0 & 0 & z_0 \end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix} v_x \\ v_y \\ v_z \end{pmatrix} =\begin{pmatrix} v_x + x_0 \cdot v_z \\ v_y + y_0 \cdot v_z \\ z_0 \cdot v_z \end{pmatrix}\). Wenn mal also eine Translation mit \(x_0, y_0, z_0\) durchführen will, müsste man die Matrix \(\begin{pmatrix} 1 & 0 & \frac{x_0}{v_z} \\ 0 & 1 & \frac{y_0}{v_z} \\ 0 & 0 & \frac{z_0}{v_z} \end{pmatrix}\) verwenden... Dann müsste es doch hinkommen...
Ob das richtig und sinnvoll ist, weiß ich nicht

[oliver_g]

Dann hängt die Translationsmatrix aber vom Vektor ab. Man muss dann also für jede Translation und jeden Vektor eine Matrix erstellen, das erscheint mir wenig sinnvoll.
Meine Gruppe und ich haben bei der Aufgabe lediglich gezeigt, dass das Produkt beliebiger 3x3-Matrizen nicht kommutativ ist. Das schließt die Fälle Rotation, Skalierung und Scherung mit ein.

[rainbow]

@mister-tt: Nein, das ist leider nicht sinnvoll. Ohne Addition eines Vektors kriegt man die Translation nicht hin, genau dafür haben wir die homogenen Koordinaten doch eingeführt.

Man kann es sich bei der 1.1 auch ganz einfach machen und ein Gegenbeispiel bringen... ist zum Widerlegen einer Aussage meist am einfachsten.

[mister_tt]

Ok ok ich gebe mich geschlagen

[Tobias]

Wenn mal also eine Translation mit \(x_0, y_0, z_0\) durchführen will, müsste man die Matrix \(\begin{pmatrix} 1 & 0 & \frac{x_0}{v_z} \\ 0 & 1 & \frac{y_0}{v_z} \\ 0 & 0 & \frac{z_0}{v_z} \end{pmatrix}\) verwenden...

So ganz abwegig ist das übrigens nicht: Wenn du \(v_z=z_0=1\) setzt, hast du eine Translationsmatrix für homogene Koordinaten aus dem \(\mathbb{R}^2\).