Fourier Transformation und Faltungssatz

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HerrDerFlammen
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Fourier Transformation und Faltungssatz

Beitrag von HerrDerFlammen »

Ich dachte eigentlich ich hätte Fourier ganz gut verstanden, aber dieser Eindruck änderte sich nun schlagartig, beim Versuch alte Klausuraufgaben zu lösen,
bei dem ich kläglich gescheitert bin.
Der Besuch der Sprechstunden hat mich leider auch nicht weitergebracht: Entweder bekonmt man absolut triviale Sachen erklärt oder der Veranstalter stürzt sich in die Ausrede, dass das ja der Hildenbrandt-Teil sei. Wie gut, dass die Klausuraufgaben aus den letzten Jahren zu Fouirer allesamt vom Hildenbrandt stammen ;-)
Aber nun zu meiner Frage:

In der Herbstklausur 2007 Aufgabe 7.2 soll man die Funktion e^|x| mit sich selbst falten. Ich hab nun ehrlich gesagt nich die große Ahnung wie ich das machen soll und auch der Hinweis mit dem Aufteilen des Integrals bringt mich nicht weiter.

In diesem Zusammenhang schein ich auch den Faltungssatz nicht verstanden zu haben. Die "Übersetzung" war ja: "Eine Faltung im Ortsraum entspricht einer Multplikation im Frequenzraum". Aber nach der Mathematischen Definition steht da meiner Meinung:
Wenn h das wie im Faltungssatz definierte Integral ist, dann kann man die Fouriertransformierte H von h berechnen, in dem man die Fouriertransfomrierten F,G von f,g Multipliziert.
Dann müsste man aber zuerst die Fouriertransformierte von e^|x| berechnen und diese mit sich selbst multiplizieren, oder seh ich das falsch? Insbesondere ist dann der Hinweis mit der Zerlegung des Integrals futsch, denn man berechnet überhaupt kein Integral. Was für ein Integral meinen die Überhaupt?
Wenn die das Faltungsintergal meinen, hab ich ehrlich gesagt keinen Plan wie man das in diesem Fall integrieren soll.
Kann mir irgendjemand helfen?

P.S. Sorry wenn die Fragen ev. bisschen dümlich erscheinen. Ich war wegen Krankheit nicht in der Vorlesung, dafür aber beinm Andreas in der Sprechstunde. Das Grundpinzip ist auch noch aus Mathe 2 klar. Aber ich kann trotzdem keine Aufgabe lösen :-(
Das Lehren soll so sein, dass das Dargebotene als wertvolles Geschenk und nicht als saure Pflicht empfunden wird.
(Albert Einstein)

Matthias Altmann
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Re: Fourier Transformation und Faltungssatz

Beitrag von Matthias Altmann »

Dumm ist nur der, der Dummes tut :)

Schaun mer mal:

Also. Hier ist nix mit Multiplikation im Frequenzraum gefragt, sondern reine Anwendung des Faltungssatzes

\(h(t)= \int_{-\infty}^{\infty}{f(x)g(t-x)dx\)

Einsetzen ergibt

\(h(t)= \int_{-\infty}^{\infty}{e^{-IxI}e^{-It-xI}dx\)

Aufspalten des Integrals

\(h(t)= \int_{-\infty}^{0}{e^{-IxI}e^{-It-xI}dx + \int_{0}^{\infty}{e^{-IxI}e^{-It-xI}dx\)

Betrag bedeutet x ist für negatives x = -x (linkes Integral, auch Integrationsintervall dreht sich), positves x bleibt (rechtes Integral)

\(h(t)= \int_{0}^{-\infty}{e^{x}e^{-t-x}dx + \int_{0}^{\infty}{e^{-x}e^{-t+x}dx\)

Ausmultiplizieren

\(h(t)= \int_{0}^{-\infty}{e^{-t}dx + \int_{0}^{\infty}{e^{-t}dx\)

Integrieren

\(h(t)= -2e^{-t}\)

Ich hoff ich hab nicht irgendwo verrechnet :?

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marlic
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Re: Fourier Transformation und Faltungssatz

Beitrag von marlic »


\(h(t)= \int_{-\infty}^{0}{e^{-IxI}e^{-It-xI}dx + \int_{0}^{\infty}{e^{-IxI}e^{-It-xI}dx\)

Betrag bedeutet x ist für negatives x = -x (linkes Integral, auch Integrationsintervall dreht sich), positves x bleibt (rechtes Integral)

\(h(t)= \int_{0}^{-\infty}{e^{x}e^{-t-x}dx + \int_{0}^{\infty}{e^{-x}e^{-t+x}dx\)
Ja ... aber Betrag von |t-x| bedeutet für negatives t-x (und nicht x(!)): |t-x| = x-t ...

(Außerdem, selbst wenn das stimmen würde, hättest du falsch integriert, denn
\(\int_0^\infty e^{-t} dx = xe^{-t} |_0^\infty = \infty\) )

Ist doch nicht ganz so einfach.

Rechne nochmal. Mein Ergebnis steht schon im Vorlesung: Fourier Transformation Thread
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Matthias Altmann
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Re: Fourier Transformation und Faltungssatz

Beitrag von Matthias Altmann »

Ja ... aber Betrag von |t-x| bedeutet für negatives t-x (und nicht x(!)): |t-x| = x-t ..
Mit dem Betrag stimmt, da muß man dann anders weiter rechnen:

\(h(t) = \int_{0}^{-\infty}{e^x*e^{-It+xI}dx + \int_{0}^{\infty}{e^{-x}*e^{-It-xI}dx\)

Mmh, ich würde so weitermachen:
Dann wieder eine Fallunterscheidung t>=0 . Ergebnis wie oben
t < 0 :
\(h(t) = \int_{0}^{-\infty}{e^x*e^{t+x}dx + \int_{0}^{\infty}{e^{-x}*e^{t-x}dx\)

\(h(t) = \int_{0}^{-\infty}{e^{t+2x}dx + \int_{0}^{\infty}{e^{t-2x}dx\)
und das ist wenn man es integriert und dann lim x-> -Unendlich bzw Unendlich laufen läßt
\(=-2e^t\) für t < 0
\(=-2e^{-t}\) für t >= 0

Also Ergebnis für t gesamt

\(=-2e^{-t}\)

(@marlic: Integrieren war übrigens richtig. Weil das erste Integral das 2. zum Teil aufhebt und nur die nicht unendlichen Werte sich aufaddieren.)

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marlic
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Re: Fourier Transformation und Faltungssatz

Beitrag von marlic »

Du musst auch die Integrationsgrenzen anpassen (also im Fall t<0 Jeweils ein Integral für
\((-\infty,t), (t,0), (0,\infty)\) und im Fall t>0 für \((-\infty,0), (0,t), (t,\infty)\)

Ok, in meinem Beitrag hatte ich mich auch verrechnet.

Hier jetzt mein "Amtliches Endergebnis" (mit mehreren leuten zusammen berechnet)

\((1 + |t|)e^{-|t|}\)
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Matthias Altmann
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Re: Fourier Transformation und Faltungssatz

Beitrag von Matthias Altmann »

Ah ja stimmt. Zu viel Betrag is einfach nicht gut für den Kopp :D

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