Geraden

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marlic
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Geraden

Beitrag von marlic »

In einigen Klausuraufgaben habe ich den Begriff "Gerade" gelesen, der leider im Transformationsteil der Vorlesung meines Wissens nicht eingeführt wurde.

Eine Gerade ist imho eine Menge von Punkten.

In den Aufgaben die ich meine wird nun darüber gesprochen, dass Vektoren auf einer Geraden liegen.
Sind hier dann die Ortsvektoren der Punkte gemeint (mit einem Implizit definierten Ursprung bei (0,0)) oder
Vektoren die Punkte auf der Geraden miteinander verbinden?

Bei den meisten Aufgaben macht nur das erste Sinn. Aber irgendwie find ichs trotzdem noch verwirrend.
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Matthias Altmann
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Re: Geraden

Beitrag von Matthias Altmann »

Hi. Schreib doch mal ein Beispiel rein

Also eine Gerade ist
anschaulich: unendlich lange, unendlich dünne Linie
auf das rechnerische bezogen : Menge von Punkten
aber axiomatisch: Ding ohne innere Eigenschaft, lediglich Beziehung zu anderen Punkten, Geraden und Ebenen sind von Bedeutung

siehe http://de.wikipedia.org/wiki/Gerade

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marlic
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Re: Geraden

Beitrag von marlic »

Gut, ich bring mal ein Beispiel - führt so ja zu nichts ;)

Klausur vom März 2007, Aufgabe 12 a)

Gegeben seien 2 Punkte p1, p2 sowie eine lineare Abbildung S (in diesem Fall eine Skallierung in y Richtung um den Faktor 2).

Zeigen sie, dass beliebige Punkte auf einer Geraden durch p1 und p2 durch S auf eine Gerade durch S(p1) und S(p2) abgebildet werden.


Mein eigentliches Problem ist, dass die Worte "Vektor liegt auf Gerade" häufig (zum Beispiel bei PCA) mit der Bedeutung "Vektor ist collinear zum Richtungsvektor der Gerade" benutzt wurden.

Hier muss man dann aber die Menge der Punkte auf der Geraden mit, zum Beispiel:

x = p1 + v * (p2 - p1) bestimmen, sehe ich das richtig?
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Matthias Altmann
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Re: Geraden

Beitrag von Matthias Altmann »

Jep, warst schon auf dem richtigen Weg. Hab auch ziemlich lang gebraucht. Also
\(x= p_1+v*(p_2-p_1)\)
Da sind dann auch schon die baryzentrischen Koordinaten um eine Gerade darzustellen:
\(x= v*p_2+(1-v)*p_1\)

kann man auch andersherum schreibenn
\(x= v*p_1+(1-v)*p_2\)

Einsetzen in die Matrix ergibt:

\(\left(\begin{array}{cc} 1&0&0&2 \end{array} \right)(v*p_1+(1-v)*p_2)\)
=\(\left(\begin{array}{c} v*p_1_x+(1-v)*p_2_x&2(v*p_1_y + (1-v)*p_2_y) \end{array} \right)\)
= \(v*\left(\begin{array}{cc} 1&0&0&2 \end{array} \right)*p_1+(1-v)*\left(\begin{array}{cc} 1&0&0&2 \end{array} \right)p_2\)

qed

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marlic
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Re: Geraden

Beitrag von marlic »

Gut ... also ich finde es wesentlich leichter einfach folgendes zu machen:

\(x = p_1 + v (p_2 - p_1)\)
\(Sx = S(p_1 + v (p_2 - p_1))\)
Linearität von S
\({} = Sp_1 + v(Sp_2 - Sp_1)\)
q.e.d.
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Matthias Altmann
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Re: Geraden

Beitrag von Matthias Altmann »

Ja, so gehts auch.
Ich hätte zwischen dem 2. und 3. Schritt wahrscheinlich noch ein paar Schritte zur Übersichtlichkeit zu dem Umbau durch Linearität eingebaut

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