Vorlesung: Fourier-Transformation

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marlic
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Re: Vorlesung: Fourier-Transformation

Beitrag von marlic »

E.d.u. hat geschrieben:hallo,

wie kann man beweisen dass bei fourierreihen die an's oder die bn's verschwinden (bei geraden/ungeraden funktionen) ?
Wir sind gerade dabei es zu widerlegen und zwar mit dem (leider nicht offensichtlich falschen) Beweis oben.
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MisterD123
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Re: Vorlesung: Fourier-Transformation

Beitrag von MisterD123 »

andersrum ginge das so aber auf oder? dass bk für ungerade und ak für gerade funktionen 0 wird?

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marlic
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Re: Vorlesung: Fourier-Transformation

Beitrag von marlic »

Nö, da kommt der fehler analog, nur dass das einzige minus diesmal vom sinus statt von der (diesmal ja geraden) Funktion kommt.

Vielleicht hilft die Aussage, dass die Folgerung sicher falsch sein muss.

#edit

sorry, hab ich falsch verstanden.

Ja, ginge es. Daran habe ich auch schon gedacht. Aber verschiedene Quellen zeigen, dass die Informationen korrekt sind.
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Edoat
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Re: Vorlesung: Fourier-Transformation

Beitrag von Edoat »

Könntest du genauer ausführen wie du von

\({} = \int_{-\pi}^{0} -f(-x) cos(-nx) dx\)

auf

\({} = \int_{\pi}^{0}-f(x) cos(nx) dx\)


kommst?

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marlic
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Re: Vorlesung: Fourier-Transformation

Beitrag von marlic »

Ok, scheinbar liegt da der Fehler.

Ich hätte gescheit substituieren müssen und nicht nur so übers Knie geschlagen ... weiß jemand gerade noch, wie das geht?


Dann mach ichs mal selbst.

Also:

Sei \(g(x) = f(x) cos(nx), v(x) = -x, v'(x) = -1\)

\(\int_{-\pi}^{0} -f(-x) cos(-nx) dx = \int_{-\pi}^{0} g(v(x))v'(x) dx = \int_{v(-\pi)}^{v(0)} g(t)dt\)

\({} = \int_{\pi}^{0}f(x) cos(nx) dx\)

Und damit auch

\({} = - \int_{0}^{\pi}f(x) cos(nx) dx\)

und \(a_n = 0\)

Alles klar, dann haben wir auch den Fehler.

In der Klausur werde ich das in drei Minuten aber sicherlich nicht so außführlich machen, sondern über Symmetrie argumentieren.
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Re: Vorlesung: Fourier-Transformation

Beitrag von marlic »

So, neue aufgabe.

August 2007, Aufgabe 7.2

Gegeben \(f(x) = e^{-|x|}\)

So ...
\(f(t)\circf(t) = h(t) = \int_{-\infty}^\infty f(x)f(t-x)dx = \int_{-\infty}^{\infty} e^{-|x|} e^{-|t-x|}dx\)

Hinweis aus der Aufgabenstellung:

Teilen Sie im ersten Schritt das Integral, so dass die Betrags-Funktionen wegfallen.
Berechnen Sie im nächsten Schritt das Integral.

Die Grenzen sind also 0 und t. Nur muss man dann noch eine Fallunterscheidung machen, ob t kleiner 0 ist oder größer 0?

Und das alles in fünf Minuten?


# edit

Ich komm sogar zu nem Ergebnis:

\(\left ( \frac 1 2 + t \right ) e^{-|t|} + \frac 1 2 e^{2t-|t|}\)

Aber niemals in der Zeit (selbst wenn ichs vorher schonmal gerechnet hätte).

Hat das jemand von euch evtl. durchgerechnet und nen anderen (schnelleren) Weg gefunden?
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E.d.u.
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Re: Vorlesung: Fourier-Transformation

Beitrag von E.d.u. »

*ping*

würde mich auch interessieren! :-)

Matthias Altmann
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Re: Vorlesung: Fourier-Transformation

Beitrag von Matthias Altmann »

Du mußt vom 2. auf den 3. Schritt das Intervall des Integrals umdrehen

wenn du -x einsetzt , dann wird auch dx zu -dx. Entweder du rechnest dann mit -dx weiter und läßt das Integral oder du drehsts rum.

Wenn dus rum drehst dann ergibt die Summe der beiden Integrale 0

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E.d.u.
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Re: Vorlesung: Fourier-Transformation

Beitrag von E.d.u. »

Matthias Altmann hat geschrieben:Du mußt vom 2. auf den 3. Schritt das Intervall des Integrals umdrehen

wenn du -x einsetzt , dann wird auch dx zu -dx. Entweder du rechnest dann mit -dx weiter und läßt das Integral oder du drehsts rum.

Wenn dus rum drehst dann ergibt die Summe der beiden Integrale 0
ich hab versucht aber ich komme nicht sehr weit
könntest du bitte detallierter erläutern? :-)
was ist bei dir der 2te schritt?
ich komme auch auf \(f(t)\circf(t) = h(t) = \int_{-\infty}^\infty f(x)f(t-x)dx = \int_{-\infty}^{\infty} e^{-|x|} e^{-|t-x|}dx\)

wie soll die aufspaltung aussehen? von -unendlich bis 0, dann von 0 bis t, und dann von t bis unendlich?

-edit ich hab das grad gesehen, sorry :)
http://www.fachschaft.informatik.tu-dar ... 97&t=11439

Matthias Altmann
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Re: Vorlesung: Fourier-Transformation

Beitrag von Matthias Altmann »

Äh, ups war zu der Aufgabe: 5. letzter Beitrag 1. Seite. War noch auf der falschen Seite.

Zu dieser Aufgabe, schau mal in einem anderen Forumsbeitrag da habens wir durchgegangen

http://www.d120.de/forum/viewtopic.php?f=197&t=11439

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