Ü 2 A 2

fubar
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Ü 2 A 2

Beitrag von fubar »

Arbeite gerade nochmal die Übungen durch...
\((D x D) \cap \mathcal P(D)\)

Wenn ich für D = {A,B} wähle, dann ergibt sich folgendes:

\((D x D) =\lbrace \lbrace A,A\rbrace,\lbrace A,B\rbrace , \lbrace B,A\rbrace , \lbrace B,B\rbrace \rbrace\)

und für \(\mathcal P(D) = \lbrace \emptyset , \lbrace A\rbrace, \lbrace B\rbrace, \lbrace A,B \rbrace \rbrace\)

also ergäbe sich doch für \((D x D) \cap \mathcal P(D)\) = {A,B} bzw. D

irgendwo hab ich da doch nen Denkfehler...
THX

robert.n
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Re: Ü 2 A 2

Beitrag von robert.n »

Richtig ist: \((D x D) =\lbrace (A,A), (A,B), (B,A), (B,B) \rbrace\)

Da liegt dein Fehler. D x D ist nicht eine Menge von Mengen, sondern eine Menge von Tupeln. Sonst würde es ja auch keinen Sinn machen zwischen {A, B} bzw {B, A} zu unterscheiden.

mister_tt
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Re: Ü 2 A 2

Beitrag von mister_tt »

Arbeite die auch gerade durch. Warum ist bei Aufgabenteil 2 \(D \cap P(D) = \emptyset\) ? Wenn man sich Folie 2.18 anschaut, müsste doch \(D \cap P(D) = D\) gelten... :?:

DanielR
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Re: Ü 2 A 2

Beitrag von DanielR »

mister_tt hat geschrieben:müsste doch \(D \cap P(D) = D\) gelten... :?:
Nein, das gilt leider nicht.
Das Problem liegt darin, dass die Potenzmengenkonstruktion die Menge aller Teilmengen liefert. Das bedeutet insbesondere, dass die Potenzmenge einer Menge \(M\) immer eine Menge von Mengen ist, egal welcher Art die Elemente aus \(M\) sind. Dadurch sind \(M\) und \(P(M)\) immer disjunkt und somit auch ihr Schnitt leer.

Verdeutlichen kann man sich das an einem Beispiel:
\(M=\{1,2\}\)
Somit gilt \(1 \in M\) und \(2 \in M\).
\(P(M) = \{\emptyset, \{1\}, \{2\}, \{1,2\}\}\)
Somit gilt \(\emptyset, \{1\}, \{2\}, M \in P(M)\).
Allerdings ist kein Element aus \(M\) in \(P(M)\) enthalten oder andersherum. Damit muss auch der Schnitt dieser beiden Mengen leer sein.

mister_tt
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Re: Ü 2 A 2

Beitrag von mister_tt »

Shit, ja... Das Problem ist, dass die Potenzmenge eine Menge von Mengen ist... Danke!

empe
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Re: Ü 2 A 2

Beitrag von empe »

Dass \(D \cap P(D) = \emptyset\) immer gilt, stimmt meiner Meinung allerdings nicht. Wenn ich mich richtig erinnere, wurde auch in der Übungsbesprechung gesagt, dass bspw. für \(D = \{\emptyset\}\) gilt, dass \(D \cap P(D) = \{\emptyset\}\)

DanielR
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Re: Ü 2 A 2

Beitrag von DanielR »

empe hat geschrieben:Dass \(D \cap P(D) = \emptyset\) immer gilt, stimmt meiner Meinung allerdings nicht. Wenn ich mich richtig erinnere, wurde auch in der Übungsbesprechung gesagt, dass bspw. für \(D = \{\emptyset\}\) gilt, dass \(D \cap P(D) = \{\emptyset\}\)
Einverstanden, den Spezialfall habe ich übersehen. :wink:
Tatsächlich gilt, falls \(\emptyset \in M\), dass dann \(M \cap P(M) = \{\emptyset \}\).
Das liegt daran, dass die leere Menge per Definition in der Potenzmenge enthalten ist - es ist also das einzige Element, dass nicht als Menge aus Elementen der Ursprungs-Menge gebildet wird.

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bruse
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Re: Ü 2 A 2

Beitrag von bruse »

Geht es um beliebige Mengen? Dann wähle ich ein M der Form \(M = \{ \ldots, \{a\}, \ldots, a, \ldots\}\) :-)
Un hombre de frente a una ventana
Súper lúcida la mirada
Recorre el paisaje y no,
no es su interior, es luna.

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