Quatientenmenge, Kapitel 3 Folie 27

mherrmann
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Quatientenmenge, Kapitel 3 Folie 27

Beitrag von mherrmann »

Hallo zusammen,

ich bin mir nicht sicher was ich mir unter einer Quotientenmenge vorstellen kann.

Die Kongruenzklasse ist in Ordnung, da ist einfach jedes Element drin, das mit a bezüglich einer Kongruenzrelation gleich ist.
Bsp; Wenn die Kongruenzrelation ~mod4 ist, dann ist: [1] bzgl. ~mod 4 = {1, 5, 9, 13 ...}

Laut Skript wird die Quatientenmenge definiert als:

\( \mathcal{A}_{\mathcal{s}}/_{\approx_{\mathcal{s}}} := \lbrace [a]_{\approx_{\mathcal{S}}} \in 2^{\mathcal{A}_{\mathcal{s}}} | a \in \mathcal{A}_{\mathcal{s}} \rbrace \)

Ich verstehe die Aussage
\( [a]_{\approx_{\mathcal{S}}} \in 2^{\mathcal{A}_{\mathcal{s}}} \)
nicht, denn wie kann eine Menge Element der Potenzmenge sein? Was sagt denn die Potenzmenge an der Stelle aus?

Kann vielleicht jemand ein Beispiel geben?

Gruß
Michael

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SM
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Beitrag von SM »

Die Potenzmenge ist die Menge aller Untermengen einer Menge... und in der Quotientenalgebra wird die Trägermenge die Menge der Äquivalenzklassen. Offensichtlich sind die Äquivalenzklassen (disjunkte) Teilmengen der ursprünglichen Trägermenge A. Also sind sie Elemente der Potenzmenge von A.
~ Per aspera ad astra. ~

mherrmann
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Beitrag von mherrmann »

Okay, aber gibt es dann einen Unterschied zwischen der ursprünglichen Trägermenge A und der Qutientenmenge? Gibt es denn zum Beispiel in der Quotientenmenge weniger Elemente als in der ursprünglichen Trägermenge, oder sind die Mengen gleich?

Gruß

BastiS
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Beitrag von BastiS »

Die Quotientenmenge ist eine Menge von Mengen.
In jeder der Mengen sind alle Elemente der Trägermenge, die bezüglich der Kongruenzrelation kongruent sind.
Somit sind darin nicht mehr oder weniger Elemente als in der Trägermenge, sondern es ist eine Unterteilung der Trägermenge in disjunkte Teilmengen.

aderhold
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Beitrag von aderhold »

Durch das Zusammenfassen von Elementen in Kongruenzklassen kann sich aber die Größe der Trägermenge bei Quotientenbildung reduzieren. Beispiel: \(\mathcal{A}_{\mathit{nat}} = \mathbb{N}\) (unendlich), \(\approx := \textrm{Allrelation}\), dann \((\mathcal{A}/_{\approx})_{\mathit{nat}} = \{ \mathbb{N} \}\) (einelementig).

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