FÜ Lösungsvorschlag

bagwell
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Re: FÜ Lösungsvorschlag

Beitrag von bagwell » 16. Mär 2011 14:43

Ich hab nen alternativen Lösungsweg für die F28 ohne Induktion:

Wenn k ungerade, dann k mod 2 = 1

8 | k² - 1 <=>
k²-1 = m * 8 <=> |mod 2
(k * k -1) mod 2 = m*8 mod 2 <=>
((k*k )mod 2 - 1 mod 2) mod 2 = 0 <=>
(k mod 2 * k mod 2 - 1) mod 2 = 0 => (ab hier muss k ungerade sein)
(1 * 1 - 1) mod 2 = 0 <=>
0 = 0
q.e.d

Ist das so richtig?

lara
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Re: FÜ Lösungsvorschlag

Beitrag von lara » 16. Mär 2011 17:04

kann mir jemand Diagonalisierung erklären?

Also ich weiß, dass ich die Eigenwerte ausrechnen muss. Dann muss ich für jeden Eigenwert, dann eigenvektor berechnen (Ax=0).
aber, wie bestimme ich die x werte bei so einer matrix:

1 2 1
0 1 2
0 0 0
(ist jetzt nur einfach ein bsp.. dann hab ich ja x1+x2=0 --> x1= -x2, für welchen x setze ich zuerst eins ein? spielt es eine Rolle, für welchen ich zuerst die eins einsetze? Und welchen x ich 0 setzen.

Wie ist es, wenn ich zwei gleiche eigenwerte habe, muss ich dann zwei linear unabhängige Vektoren bilden?

Die aufstellung der Diagonalmatrix ist ja die EW in Einheitsmatrix einsetzen. bspw. EW1= 1, EW2 = 1, EW3= 2
dann ich die Diagonalmatrix:
1 0 0
0 1 0
0 0 2

Ist es egal, wo ich meinen EW einsetze? muss ich da die reihenfolge beachten?

Dann setze ich eine Matrix S mit den Eigenvektoren auf. ich muss doch nach der reihenfolge die Eingenvektoren in eine Matrix darstellen oder?

In der Übung 13 ist zwar eine Aufgabe, aber ich habe andere Eigenvektoren und das ergebnis ist bei mir ganz anders.

Kann mir bitte jemand helfen :(

jül
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Re: FÜ Lösungsvorschlag

Beitrag von jül » 16. Mär 2011 18:12

lara hat geschrieben:kann mir jemand Diagonalisierung erklären?

Also ich weiß, dass ich die Eigenwerte ausrechnen muss. Dann muss ich für jeden Eigenwert, dann eigenvektor berechnen (Ax=0).
aber, wie bestimme ich die x werte bei so einer matrix:

1 2 1
0 1 2
0 0 0
(ist jetzt nur einfach ein bsp.. dann hab ich ja x1+x2=0 --> x1= -x2, für welchen x setze ich zuerst eins ein? spielt es eine Rolle, für welchen ich zuerst die eins einsetze? Und welchen x ich 0 setzen.
Also was erstma wichtig ist, du hast zu einem Eigenwert immer unendlich viele Eigenvektoren. Die Matrix gibt ja dir ja ein lineares Gleichungssystem, das löst du "ganz normal", z.B mit Gauß.
In der letzten Zeile hast du eine Nullzeile, also 0*x1 + 0*x2 +0*x3 = 0. Das sagt dir schon mal, dass es unendlich viele Lösungen geben muss. Du setzt also z.B x3=lambda (das ist dann sowas wie ne Variable) und setzt das in die anderen Gleichungen ein.
Das gibt dann am Ende x3=lambda, x2=-2*lambda, x1= 3*lambda. Dein Eigenvektor hat dann die Form:
\(\vec{x}=\left(\begin{array}{c} 3 \\ -2 \\ 1 \end{array})\right * \lambda\)
lara hat geschrieben: Wie ist es, wenn ich zwei gleiche eigenwerte habe, muss ich dann zwei linear unabhängige Vektoren bilden?
Ich bin mir auch nich 100pro sicher, aber nachdem was ich grad gelesen habe: Wenn du einen mehrfachen Eigenwert hast, kann es dazu mehrere linear unabhängige Eigenvektoren geben oder auch nicht. Wenn dem nicht so ist, ist das ganze nicht diagonalisierbar.
http://de.wikipedia.org/wiki/Eigenwertp ... envektoren
Aber wie gesagt, so ganz blick ich dem Punkt grade auch nicht durch...
lara hat geschrieben: Ist es egal, wo ich meinen EW einsetze? muss ich da die reihenfolge beachten?

Dann setze ich eine Matrix S mit den Eigenvektoren auf. ich muss doch nach der reihenfolge die Eingenvektoren in eine Matrix darstellen oder?
Hab grad mal im Skript geschaut, Bemerkung 3.11.6, also es ist nicht egal, sondern du hast am Ende ja eine Diagonalmatrix mit den Eigenwerten auf der Diagonalen; das muss zu der Basis aus Eigenvektoren "passen" (was dort B genannt wird). Also z.B für den Eigenvektor b3 steht dann der Eigenwert in der dritten Spalte der Diagonalmatrix.
lara hat geschrieben: In der Übung 13 ist zwar eine Aufgabe, aber ich habe andere Eigenvektoren und das ergebnis ist bei mir ganz anders.
welche denn?
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lara
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Re: FÜ Lösungsvorschlag

Beitrag von lara » 16. Mär 2011 18:19

F26) da habe ich meine probleme.

zu der Diagonalmatrix: ich setze doch statt der einsen in der Einheitsmstrix meine eigenwerte, oder muss ich da anders verfahren?

und die Eigenvektoren stelle ich in eine matrix dar.

jül
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Re: FÜ Lösungsvorschlag

Beitrag von jül » 16. Mär 2011 18:26

genau, wenn die abbildungsmatrix diagonalisierbar ist, dann ist die diagonalmatrix einfach die matrix, die die eigenwerte auf der diagonalen hat
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lara
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Re: FÜ Lösungsvorschlag

Beitrag von lara » 16. Mär 2011 18:29

und die eingenvektoren sind dann zusammen in einer matrix dargestellt als S, oder?

dann muss ich S invertieren, ....

Und zu den Eigenvektoren noch: wenn ich zwei gleiche EW habe, dann darf ich doch 2 unabhängige Vektoren bestimmen oder?

Kai.S
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Re: FÜ Lösungsvorschlag

Beitrag von Kai.S » 16. Mär 2011 18:31

Habe es zumindest nirgendwo gesehen hierdrin.
Zur F6, der Reihenwert von d) ist -3/7.
Kommt man drauf, indem man die Reihe in 2 geometrische Reihen (eine mit allen positiven Summanden, eine mit allen negativen) zerlegt:
\(\sum_{n=1} \frac{(-3)^n}{4^n} = \sum_{n=1} \frac{3^{2n}}{4^{2n}} - \sum_{n=1} \frac{3^{2n-1}}{4^{2n-1}} = \sum_{n=0} (\frac{9}{16})^n - 1 - \frac{4}{3} (\sum_{n=0} (\frac{9}{16})^n - 1) = \cdots= -\frac{3}{7}\)

Irgendwie werden zumindest bei mir keine Summenzeichen angezeigt. Naja, überall wo unten n=1 bzw n=0 steht ist ne Summe^^ Keine Ahnung von tex^^

Okay, unten ne Lösung von dees einfach direkt mit der Formel für die geometrische Folge... Habe nicht dran gedacht, dass die auch bei q<0 gilt solange Betrag von q < 1. Anyways, mein Lösungsweg lasse ich mal hier stehen.
Zuletzt geändert von Kai.S am 16. Mär 2011 19:30, insgesamt 3-mal geändert.

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Re: FÜ Lösungsvorschlag

Beitrag von jül » 16. Mär 2011 18:32

lara hat geschrieben:und die eingenvektoren sind dann zusammen in einer matrix dargestellt als S, oder?

dann muss ich S invertieren, ....
genau
lara hat geschrieben: Und zu den Eigenvektoren noch: wenn ich zwei gleiche EW habe, dann darf ich doch 2 unabhängige Vektoren bestimmen oder?
wie schon gesagt, dass ist der teil wo ich auch noch so meine verständnisprobleme habe...
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Kai.S
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Re: FÜ Lösungsvorschlag

Beitrag von Kai.S » 16. Mär 2011 18:36

jül hat geschrieben:
lara hat geschrieben: Und zu den Eigenvektoren noch: wenn ich zwei gleiche EW habe, dann darf ich doch 2 unabhängige Vektoren bestimmen oder?
wie schon gesagt, dass ist der teil wo ich auch noch so meine verständnisprobleme habe...
Also, dann hängts von dem Ergebnis ab, dass man für die Eigenvektoren zu diesem doppelten EW bekommt. Wenn die nen Raum der dimension 2 aufspannen, einfach in zwei linear unabhängige aufteilen und weiter machen. Wenn nicht, ist die Matrix nicht diagonalisierbar.

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Re: FÜ Lösungsvorschlag

Beitrag von dees » 16. Mär 2011 19:06

Kai.S hat geschrieben:Habe es zumindest nirgendwo gesehen hierdrin.
Zur F6, der Reihenwert von d) ist -9/21.
Kommt man drauf, indem man die Reihe in 2 geometrische Reihen zerlegt:
\(\sum_{n=1} \frac{(-3)^n}{4^n} = \sum_{n=1} \frac{3^{2n}}{4^{2n}} - \sum_{n=1} \frac{3^{2n-1}}{4^{2n-1}} = \sum_{n=0} (\frac{9}{16})^n - 1 - \frac{4}{3} (\sum_{n=0} (\frac{9}{16})^n - 1) = \cdots= -\frac{9}{21}\)

Irgendwie werden zumindest bei mir keine Summenzeichen angezeigt. Naja, überall wo unten n=1 bzw n=0 steht ist ne Summe^^ Keine Ahnung von tex^^
Also, erstmal Indexverschiebung für n=0 gemacht. Dann steht da (-3)^n+1 / 2^2(n+1) = (-3)^n*(-3) / 2^2n * 2^2 = ((-3) / 4)^n * (-3) / 4 => mit der Formel für die geometrische Reihe = 4/7 * (-3)/4 = -3/7

Kai.S
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Re: FÜ Lösungsvorschlag

Beitrag von Kai.S » 16. Mär 2011 19:28

mmh, kommt aufs selbe raus (9/21 = 3/7, hab nicht gekürzt) :D Aber ist vlt leichter wie dus hast. Ich hab einfach nicht dran gedacht, dass die Formel auch für negative q gilt ^^

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Re: FÜ Lösungsvorschlag

Beitrag von nine » 16. Mär 2011 19:51

lara hat geschrieben:kann mir jemand Diagonalisierung erklären?

Also ich weiß, dass ich die Eigenwerte ausrechnen muss. Dann muss ich für jeden Eigenwert, dann eigenvektor berechnen (Ax=0).
:(
Hmm, ich weiß nicht, ob du da einfach nur was vergessen hast aufzuschreiben, aber wenn du die Eigenvektoren aus den Eigenwerten berechnen willst, musst du das LGS (A-lambda*I)x=0 lösen....

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Re: FÜ Lösungsvorschlag

Beitrag von obebo » 16. Mär 2011 20:15

kann es sein, dass die Aufgabe F30) nicht komplett ist?
fall wir a = n zeigen sollen, wäre das doch ein 1:1 abschreiben aus dem Skript Satz 2.3.3 ?!

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Re: FÜ Lösungsvorschlag

Beitrag von tonyp » 16. Mär 2011 20:52

kartzow hat geschrieben:Tip zu F23:


Das tolle an linearen Abbildungen ist, dass man Basiswechsel machen kann. Der Trick ist sich zuerst eine Orthonormalbasis auszusuchen bezueglich der man die Abbildung einfach beschreiben kann (in diesem Fall: einer der Vektoren sollte in der Drehachse liegen). Danach kann man per Basistransformation die Matrix bezueglich der Standardbasis ausrechnen.

Aber wir hatten doch die Drehmatrix überhaupt nicht im Skript? Kann das dann in der Klausur vorrausgesetzt werden? Zumal wir nicht einmal die trigonometrischen Funktionen behandelt haben.

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Re: FÜ Lösungsvorschlag

Beitrag von obebo » 16. Mär 2011 21:23

hat jemand die F 31 auch gemacht??
also a) hab ich für den Abstand 1/√2

und bei b) liegt die Gerade parallel zu E, also leere Menge

kann das jemand bestätigen?

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