FÜ Lösungsvorschlag

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mba
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Re: FÜ Lösungsvorschlag

Beitrag von mba » 15. Mär 2011 15:34

@GNut
"F16, f) laesst sich mit einem Beweis durch Widerspruch loesen"

Ich würde sage das ist falsch. Also die Aussage ist gültig, denn wir können sie umformen zu "nicht für alle x aus M gilt E(x) oder es gibt ein x aus M für den E(x) gilt" was gleich ist zu "es gibt ein x aus M das E(x) nicht erfüllt oder es gibt ein x aus M dass E(x) erfüllt". Dies ist offensichtlich gültig, denn entweder erfüllt eine Element x aus M die Aussagelogischeformel E(x) oder nicht.

Man kann es auch anhand der Aussage ohne Umformung sehen, wenn alle x aus M die Aussagelogischeformel E(x) erfüllen, dann gibt es trvialerweise auch ein x aus M, dass E(x) erfüllt.

Sind meine Überlegungen richtig? Oder habe ich irgendetwas komplett falsch verstanden?
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Re: FÜ Lösungsvorschlag

Beitrag von nine » 15. Mär 2011 16:18

Cpro hat geschrieben:det und spur hab' ich auch so.
Rang ist bei mir 2, denn

2 1 0
2 2 2 Zweite Zeile minus Erste Zeile
0 1 2

2 1 0
0 1 2
0 1 2 Dritte Zeile = Zweite Zeile und somit

2 1 0
0 1 2
0 0 0
folgt Rang = 2
Man kann ja auch die erste und die letzte Spalte mit 3 multiplizieren und dann addieren. Da kommt nämlich dann \((6,6,6)^T\) raus, und das entspricht im \(\mathbb{Z}_5 (1,1,1)^T\), oder?
Und damit hat man dann gezeigt, dass die zweite Spalte eine Linearkombination der ersten und letzten Spalte ist und somit ist der Rang(A)=2.

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Re: FÜ Lösungsvorschlag

Beitrag von DB_420 » 15. Mär 2011 16:32

mba hat geschrieben:@GNut
"F16, f) laesst sich mit einem Beweis durch Widerspruch loesen"

Ich würde sage das ist falsch. Also die Aussage ist gültig, denn wir können sie umformen zu "nicht für alle x aus M gilt E(x) oder es gibt ein x aus M für den E(x) gilt" was gleich ist zu "es gibt ein x aus M das E(x) nicht erfüllt oder es gibt ein x aus M dass E(x) erfüllt". Dies ist offensichtlich gültig, denn entweder erfüllt eine Element x aus M die Aussagelogischeformel E(x) oder nicht.

Man kann es auch anhand der Aussage ohne Umformung sehen, wenn alle x aus M die Aussagelogischeformel E(x) erfüllen, dann gibt es trvialerweise auch ein x aus M, dass E(x) erfüllt.

Sind meine Überlegungen richtig? Oder habe ich irgendetwas komplett falsch verstanden?
Leider stimmt das nicht ganz.

Dazu betrachten wir den Fall, dass M eine leere Menge ist. Dann ist die Aussage \(E(x)\) für alle x richtig (es gibt keine, für die es anders sein könnte), es existiert dennoch kein x, für das \(E(x)\) gilt.
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Re: FÜ Lösungsvorschlag

Beitrag von GNut » 15. Mär 2011 16:39

@mba, verneinst du den vorderen teil, oder den hinteren teil, bzw. alles? Da komm ich grad nich mit.

mein beweis sieht so aus:
wir nehmen an, dass die behauptung nicht gilt, also:
fuer alle x element M : E(x) => nicht(es existiert ein x element M : E(x))
und der hintere Teil ist aequivalent zu:
fuer alle x element M: nicht E(x)
was eindeutig ein widerspruch ist. Also gilt die behauptrung.

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Re: FÜ Lösungsvorschlag

Beitrag von mba » 15. Mär 2011 17:25

Ich habe die Aussage einfach zu einer äquivalenten Aussage umgeformt, weil A => B ist eq. zu nicht A oder B und wenn man ein nicht vor einem Allquantor hat z.B. nicht für alle x gilt E(x) wird das ja zu es gibt ein x für dass nicht E(x) gilt.
Zuletzt geändert von mba am 15. Mär 2011 17:29, insgesamt 1-mal geändert.
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Re: FÜ Lösungsvorschlag

Beitrag von mba » 15. Mär 2011 17:29

DB_420 hat geschrieben:
mba hat geschrieben: Leider stimmt das nicht ganz.

Dazu betrachten wir den Fall, dass M eine leere Menge ist. Dann ist die Aussage \(E(x)\) für alle x richtig (es gibt keine, für die es anders sein könnte), es existiert dennoch kein x, für das \(E(x)\) gilt.
Wenn M eine leere Menge ist, dann kann es doch kein Element aus M geben, für dass E(x) gelten kann?! Wenn du die Aussage einfach umformst, scheint mir das recht plausibel zu sein, dass sie gilt.

Und wenn M leer ist, wir also das leere Element haben, dann gibt es ja auch ein x aus M, nämlich das leere Element, welches E(x) erfüllt.
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Re: FÜ Lösungsvorschlag

Beitrag von mba » 15. Mär 2011 17:50

F19:
Der Wertebereich muss nicht eingeschraenkt werden. Der Definitionsbereich ist so einzuschraenken, dass nur ein Ast der Parabel betrachtet wird. Entweder 0 bis unendlich
oder -unendlich bis 0. In der Umkehrfunktion vertauschen sich Werte und Definitionsbereich.
Konkret würde ich den Definitionsbereich folgend einschränken [0, inf) und die Umfehrfunktion in Abhängigkeit von x lautet f(x)^-1 : R -> R und f(x)^-1 = sqrt(x-1).

P.S.: Leider konnte ich bisher noch immer nicht die Abbildungsmatrix der Drehung aufstellen ohne dass ich eine Formel von Wikipedia "Drehung um eine Ursprungsgerade, deren Richtung und Orientierung durch den beliebigen Einheitsvektor" verwende. (http://de.wikipedia.org/wiki/Drehmatrix)
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Re: FÜ Lösungsvorschlag

Beitrag von nine » 15. Mär 2011 20:51

@mba: ja, das Problem hab ich auch, wobei man sich ja durchaus noch mit Hilfe einer Skizze überlegen kann, wo eine 0 hin muss und welches Vorzeichen welcher Eintrag haben müsste.
Problem ist dann nur, die passenden Werte für die Spalten mit 3 Einträgen zu finden ohne die Wikipedia-Formel zu benutzen...

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Re: FÜ Lösungsvorschlag

Beitrag von GNut » 15. Mär 2011 22:15

was meinst du genau mit passenden werten fuer die 3 spalten ueberlegen?
was habt ihr denn raus? also wenn man sich die abbildung am besten mit ner skizze klargemacht hat, dann bildet man die einheitsvektoren ab und hat das ergebnis oder?

lara
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Re: FÜ Lösungsvorschlag

Beitrag von lara » 15. Mär 2011 22:39

GNut hat geschrieben:was meinst du genau mit passenden werten fuer die 3 spalten ueberlegen?
was habt ihr denn raus? also wenn man sich die abbildung am besten mit ner skizze klargemacht hat, dann bildet man die einheitsvektoren ab und hat das ergebnis oder?
ich ab das auch nicht ganz richtig. kannst du es uns erklären :roll:

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Re: FÜ Lösungsvorschlag

Beitrag von Kai.S » 15. Mär 2011 22:43

Kurz das Ergebnis zur F22 weils hier noch nicht drin steht... Ich glaube man kommt nicht drumrum erstmal zu rechnen... Also...

Rechnet man A*A*A*A aus, kommt I raus.
Also kann man das ganze schön in 4er Päckchen zu Einheitsmatrizen verpacken... 2011 mod 4 = 3
=> A^2011 = A*A*A

A*A*A ist das Ergebnis, die Matrix sieht so aus, dass alle Werte einfach die konjugiert komplexen Zahlen von A sind (nennt man auch konjugierte Matrix, keine Ahnung ob wir das hatten).

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Re: FÜ Lösungsvorschlag

Beitrag von nine » 15. Mär 2011 22:59

@lara: ich kann probieren,es soweit wie ich's verstanden habe, zu erklären ;)
GNut hat geschrieben:was meinst du genau mit passenden werten fuer die 3 spalten ueberlegen?
was habt ihr denn raus? also wenn man sich die abbildung am besten mit ner skizze klargemacht hat, dann bildet man die einheitsvektoren ab und hat das ergebnis oder?
Naja, mit einer Skizze kannst du dir überlegen, in welche Richtung die Vektoren gehen, aber du weißt nicht genau den Ortsvektor.
Die Lösung, die ich mir mit Hilfe der Skizze überlegt hatte, war folgende Matrix:
\(\begin{pmatrix} 1 & -1 & 1 \\ 1 & 0 & -1 \\ 1 & 1 & 1 \end{pmatrix}\)

Das Problem dabei ist, dass dann die Vektoren, die vorher die Länge 1 hatten, diese nach der Drehung nicht mehr haben. Und das darf eigentlich nicht sein.
Deswegen sieht die Lösung, auf die man mit Hilfe der Formel von Wikipedia kommt wie folgt aus:
\(\begin{pmatrix} 0,5 & -\frac{1}{\sqrt{2}} & 0,5 \\ \frac{1}{\sqrt{2}} & 0 & -\frac{1}{\sqrt{2}} \\ 0,5 & \frac{1}{\sqrt{2}} & 0,5 \end{pmatrix}\)

Im Prinzip also ein ähnlicher Aufbau, aber mit anderen Werten (die Länge der Spaltenvektoren, was ja den Bildern der Basisvektoren entspricht, ist aber bei allen 1).
Und die Frage ist, wie man jetzt auf die 0,5 und die \(\frac{1}{\sqrt{2}}\) durch Überlegen oder sonstige Rechnungen und Mittel kommt, die wir so üblicherweise in der Vorlesung kennen gelernt haben...
In der zweiten Spalte der Matrix ist das ja kein Problem, denn \({\sqrt{1^2 + 1^2}} = {\sqrt{2}}\) also muss man den Vektor \((-1,0,1)^T\) mit \(\frac{1}{\sqrt{2}}\) multiplizieren, um ihn zu normieren.
Aber die 0,5 und die \(\frac{1}{\sqrt{2}}\) in den anderen Spalten fallen für mich vom Himmel, wenn man's ohne Wiki-Formel machen soll...

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Re: FÜ Lösungsvorschlag

Beitrag von DB_420 » 16. Mär 2011 09:43

mba hat geschrieben:
DB_420 hat geschrieben:
mba hat geschrieben: Leider stimmt das nicht ganz.

Dazu betrachten wir den Fall, dass M eine leere Menge ist. Dann ist die Aussage \(E(x)\) für alle x richtig (es gibt keine, für die es anders sein könnte), es existiert dennoch kein x, für das \(E(x)\) gilt.
Wenn M eine leere Menge ist, dann kann es doch kein Element aus M geben, für dass E(x) gelten kann?! Wenn du die Aussage einfach umformst, scheint mir das recht plausibel zu sein, dass sie gilt.

Und wenn M leer ist, wir also das leere Element haben, dann gibt es ja auch ein x aus M, nämlich das leere Element, welches E(x) erfüllt.
Nun ja, das ist jetzt eine Definitionsfrage.

Beispiel: Wenn ich sage, "alle Einwohner in Fantasialand haben schwarze Haare", aber Fantasialand hat keine Einwohner, dann habe ich doch Recht :)
Oder Formal: Ein Aussage über alle Elemente in einer leeren Menge impliziert nicht die Existenz eines überprüfbaren Elementes.
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Re: FÜ Lösungsvorschlag

Beitrag von kartzow » 16. Mär 2011 09:43

Tip zu F23:


Das tolle an linearen Abbildungen ist, dass man Basiswechsel machen kann. Der Trick ist sich zuerst eine Orthonormalbasis auszusuchen bezueglich der man die Abbildung einfach beschreiben kann (in diesem Fall: einer der Vektoren sollte in der Drehachse liegen). Danach kann man per Basistransformation die Matrix bezueglich der Standardbasis ausrechnen.

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Re: FÜ Lösungsvorschlag

Beitrag von nine » 16. Mär 2011 12:18

kartzow hat geschrieben:Tip zu F23:


Das tolle an linearen Abbildungen ist, dass man Basiswechsel machen kann. Der Trick ist sich zuerst eine Orthonormalbasis auszusuchen bezueglich der man die Abbildung einfach beschreiben kann (in diesem Fall: einer der Vektoren sollte in der Drehachse liegen). Danach kann man per Basistransformation die Matrix bezueglich der Standardbasis ausrechnen.
Hmm, ja das ist eine gute Idee :D
Danke, hat funktioniert ;)

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