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Re: FÜ Lösungsvorschlag

Verfasst: 14. Mär 2011 23:14
von lara
GNut hat geschrieben:Induktionsanfang: fuer k=1 gilt es
Induktionsannahme: 8|(k^2-1) gelte fuer alle k element N und k ungerade
Induktionsschritt: (ich nehme hier k+2, da k+1 ja gerade ist)
(k+2)^2-1 = k^2 + 4k + 4 -1 = k^2 - 1 + 4(k+1) (hier hab ich einfach umsortiert und die 4 ausgeklammert)
der vordere Teil ist ja per Induktionsannahme durch 8 teilbar. Jetzt bleibt nur noch zu zeigen, dass 4(k+1) durch 8 teilbar ist. Den Teil kann man nochmal durch einen kleinen Induktionsbeweis zeigen (das geht relativ einfach) oder man nutzt aus, dass k ungerade ist. Heisst also, k+1 ist gerade und somit immer durch 2 teilbar, was wiederrum heisst, man kann eine 2 aus dem Term k+1 ausklammern und vor die Klammer ziehen. Somit ergibt ergibt 4(k+1) = 8((k+1)/2) was durch 8 teilbar ist. Und die Addition von 2 Zahlen, die durch 8 teilbar sind, ergibt eine Zahl, die ebenfalls durch 8 teilbar ist (anschaulich kann man eine 8 aus der Addition ausklammern).
Somit ist der Beweis erbracht.

edit: ja da muesste 5 als endziffer, hatte wohl nicht richtig mitgedacht ^^ Quasi 5 mal gerade zahl gibt 0 am ende, aber man multipliziert ja immer mit 5 und nicht mit dem exponent :roll:
Danke für den Beweis.

Zum Endziffer 5 habe ich noch ein Verständnisproblem:
5^2 = 25
5^3 = ...5
5^4 = ...5

eigentlich nur 5er als endziffer oder???

Re: FÜ Lösungsvorschlag

Verfasst: 14. Mär 2011 23:29
von GNut
genau. Und fuer die 9 dann eben analog.

Re: FÜ Lösungsvorschlag

Verfasst: 14. Mär 2011 23:29
von lara
GNut hat geschrieben:Induktionsanfang: fuer k=1 gilt es
Induktionsannahme: 8|(k^2-1) gelte fuer alle k element N und k ungerade
Induktionsschritt: (ich nehme hier k+2, da k+1 ja gerade ist)
(k+2)^2-1 = k^2 + 4k + 4 -1 = k^2 - 1 + 4(k+1) (hier hab ich einfach umsortiert und die 4 ausgeklammert)
der vordere Teil ist ja per Induktionsannahme durch 8 teilbar. Jetzt bleibt nur noch zu zeigen, dass 4(k+1) durch 8 teilbar ist. Den Teil kann man nochmal durch einen kleinen Induktionsbeweis zeigen (das geht relativ einfach) oder man nutzt aus, dass k ungerade ist. Heisst also, k+1 ist gerade und somit immer durch 2 teilbar, was wiederrum heisst, man kann eine 2 aus dem Term k+1 ausklammern und vor die Klammer ziehen. Somit ergibt ergibt 4(k+1) = 8((k+1)/2) was durch 8 teilbar ist. Und die Addition von 2 Zahlen, die durch 8 teilbar sind, ergibt eine Zahl, die ebenfalls durch 8 teilbar ist (anschaulich kann man eine 8 aus der Addition ausklammern).
Somit ist der Beweis erbracht.
:roll:
bei der Induktionsannahme muss man aber erst bei k=3 anfangen. bei k=1 stimmt es nicht, oder?

Re: FÜ Lösungsvorschlag

Verfasst: 14. Mär 2011 23:35
von lara
GNut hat geschrieben:genau. Und fuer die 9 dann eben analog.
ok.
9^2 = 81
9^3 = ...9
9^4 = ...1
9^5 = ...9

Also Endziffer bei geraden Zahlen = 1
und bei ungeraden Zahlen =9

bspw. bei 7^234
7^2 = 49
7^3 = ...3
7^4 = ...1
7^5 = ...7

also in dem bsp. ist Endziffer 1.

Hab ich das jetzt richtig verstanden?
(Dank dir :) )

Re: FÜ Lösungsvorschlag

Verfasst: 15. Mär 2011 00:21
von lara
Könnten wir mal F30 vgl.?

Re: FÜ Lösungsvorschlag

Verfasst: 15. Mär 2011 00:50
von GNut
http://www.d120.de/forum/viewtopic.php?f=154&t=21765
da sind einige loesungen, obwohl wir in unserer lerngruppe gedacht hatten, nur weil a*b = b heisst nicht, dass auch gilt b*a = b.
Von daher gilt es nicht, weil es nicht fuer beide richtungen zeigbar ist.
aber evtl. kann mich ja jemand vom gegenteil ueberzeugen :)

Re: FÜ Lösungsvorschlag

Verfasst: 15. Mär 2011 01:08
von lara
F31) meine Lösung:

E= (1,0,1) + x(2,-1,-1) + y(1,0,0)

----> Punkt 1 habe ich einfach als Aufpunkt, und von den anderen zwei Punkten habe ich den Punkt 1 abgezogen und damit meine zwei Richtungsvektoren erzeugt. Ist das soweit richtig???

Re: FÜ Lösungsvorschlag

Verfasst: 15. Mär 2011 03:28
von GNut
Das muesste stimmen. Theoretisch kann man sich die richtungsvektoren beliebig waehlen, solang die entstandene parameterform der ebene fuer alle gegebenen punkte loesbar ist :).

Re: FÜ Lösungsvorschlag

Verfasst: 15. Mär 2011 09:49
von mba
Aufgabe F23

Wie würden denn dort konkret die Vektoren bzgl. der Standardbasis des R^3 ausschauen? Ich habe mir eine Skizze gemacht, aber so ganz komme ich irgendwie nicht drauf.

Re: FÜ Lösungsvorschlag

Verfasst: 15. Mär 2011 13:01
von lara
GNut hat geschrieben:Das muesste stimmen. Theoretisch kann man sich die richtungsvektoren beliebig waehlen, solang die entstandene parameterform der ebene fuer alle gegebenen punkte loesbar ist :).
was meinst du mit der Lösbarkeit? Meine Frage ist, wenn jeder einen anderen Ortsvektor und Richtungsvektoren hat, kommt man dann aufs gleiche Ergebnis?

Re: FÜ Lösungsvorschlag

Verfasst: 15. Mär 2011 13:51
von GNut
Mit loesbarkeit meine ich, dass es eine Loesung fuer alpha und beta der richtungsvektoren gibt, sodass die ebenengleichung die punkte der ebene ergibt.
wenn man es sich graphisch veranschaulicht, wird es ja ersichtlich. eine Ebene im R3 kann man von jedem Punkt aus aufspannen mit 2 Richtungsvektoren, solang sie nur in der ebene liegen. Also gibt es quasi unendlich viele richtige loesungen, aber die Gerade schneidet Ebene nur in einem punkt, der eindeutig ist. Von daher kann es gut sein, dass wir alle verschiedene Parameterformen der Ebene haben, aber der Schnittpunkt muss gleich sein :)

Re: FÜ Lösungsvorschlag

Verfasst: 15. Mär 2011 13:55
von lara
und wie merke ich mir bzw. wie soll ich es sehen, wenn ich vektoren aussuchen, ob die gut lösbar sind oder nicht. hast du da vielleicht ein tipp für mich :roll:

Re: FÜ Lösungsvorschlag

Verfasst: 15. Mär 2011 14:03
von GNut
naja, so wie du es gemacht hast ;) einfach einen der gegebenen punkte als aufhaengepunkt nehmen und die anderen 2 passend dazu ausrechnen.

Re: FÜ Lösungsvorschlag

Verfasst: 15. Mär 2011 14:06
von lara
ja, aber in der F31 waren die Punkte ja vorgegeben. aber in der Probeklausur sollte man selber die punkte bestimmen. nur x2= 0 sein. da gibt es ja viele kombinationen. was sollte man in der aufgabe beim wählen von Vektoren beachten?

Re: FÜ Lösungsvorschlag

Verfasst: 15. Mär 2011 14:21
von GNut
in erster linie, dass die moeglichst einfach sind. schliesslich musst du mit denen anschliessend weiterrechnen.