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Re: FÜ Lösungsvorschlag

Verfasst: 14. Mär 2011 12:35
von lara
Bei F15 ist die Gleichung in Z3 und Z5 nicht lösbar. bei Z3 habe ich nullzeile und bei Z5 sind nur alle Koeffizienten 0, aber b=4.

Re: FÜ Lösungsvorschlag

Verfasst: 14. Mär 2011 13:45
von p24
Also für Z3 ist zumindestens \(x_4 = \tilde{0} , x_3 = \tilde{1} , x_2 = \tilde{1}, x_1= \tilde{0}\) eine Lösung des Gleichungssystems - ich weiß aber nicht, wie man den Lösungsraum richtige ermittelt - Kann dazu jemand was sagen?

Re: FÜ Lösungsvorschlag

Verfasst: 14. Mär 2011 16:09
von lara
ok jetzt hab ich für die F15 eine Lösung für Z3: Rang(A)=3=Rang(AIb) --> also lösbar

x4 = s (da eine Nullzeile rauskommt, wird x4 einfach s gesetzt)

1 1 2 0 I 0
0 1 0 2 I 1
0 0 2 1 I 2
0 0 0 0 I 0

In Abhängigkeit von s bestimme ich x1, x2, und x3.

also:
x4 = s
x3 = 1-s/2
x2 = 1-2s
x1 = 3s-3

Lösungsmenge: s(3, -2, -1/1, 1) + (-3, 1, 1, 0)


Z5 ist meiner Meinung nach nicht lösbar, da Rang(A) = 3 und Rang(AIb) = 4 --> daher nicht lösbar!!!

Re: FÜ Lösungsvorschlag

Verfasst: 14. Mär 2011 17:38
von gregor
p24 hat geschrieben:Also für Z3 ist zumindestens \(x_4 = \tilde{0} , x_3 = \tilde{1} , x_2 = \tilde{1}, x_1= \tilde{0}\) eine Lösung des Gleichungssystems - ich weiß aber nicht, wie man den Lösungsraum richtige ermittelt - Kann dazu jemand was sagen?
ich habs ein wenig anders, nämlich wie lara: Lösungsraum würde ich folgendermaßen angeben: \(\textbf{L} = \left \{ \alpha \begin{pmatrix}
0\\
1\\
1\\
1
\end{pmatrix}+\begin{pmatrix}
0\\
1\\
1\\
0
\end{pmatrix} : \alpha \in \mathbb{Z}_3\right \}\)

Re: FÜ Lösungsvorschlag

Verfasst: 14. Mär 2011 18:09
von lara
:roll:

wie bestimmst du den Rang?

Außerdem verstehe ich nicht, warum du bei X1= 0 hast!

Re: FÜ Lösungsvorschlag

Verfasst: 14. Mär 2011 19:10
von gregor
lara hat geschrieben::roll:

wie bestimmst du den Rang?

Außerdem verstehe ich nicht, warum du bei X1= 0 hast!
in Z3 ist x1 = 3 = 0.

Re: FÜ Lösungsvorschlag

Verfasst: 14. Mär 2011 19:22
von lara
Ok, die 3er muss ich noch kürzen.

aber muss man den Rang nicht von der Matrix ablesen? ich habe diese Matrix rausbekommen:

1 1 2 0 I 0
0 1 0 2 I 1
0 0 2 1 I 2
0 0 0 0 I 0

Daraus se ich, dass der Rang(A) = 3 und Rang (AIb) = 2.

Hab das nicht ganz verstanden :roll:

Re: FÜ Lösungsvorschlag

Verfasst: 14. Mär 2011 19:33
von gregor
sorry wegen der verwirrung. ich hatte eine falsche aufgabe wegen dem rang im kopf. du hast natürlich recht bei der aufgabe.
tut mir leid.

Re: FÜ Lösungsvorschlag

Verfasst: 14. Mär 2011 21:12
von tonyp
lara hat geschrieben:Ok, die 3er muss ich noch kürzen.

aber muss man den Rang nicht von der Matrix ablesen? ich habe diese Matrix rausbekommen:

1 1 2 0 I 0
0 1 0 2 I 1
0 0 2 1 I 2
0 0 0 0 I 0

Daraus se ich, dass der Rang(A) = 3 und Rang (AIb) = 2.

Hab das nicht ganz verstanden :roll:
Kann der Rang bei der erweiterten Koeffizientenmatrix kleiner sein als von der Matrix?
Glaub nicht dass das geht.

Ich hätte da jetzt gesagt Rang(A) = Rang(A|b) = 3 - also der Rang als die Anzahl der linear unabhängigen Vektoren, oder hab ich n Denkfehler?

Re: FÜ Lösungsvorschlag

Verfasst: 14. Mär 2011 21:42
von tonyp
und wie würdet ihr die F12 lösen - Verneinung der Aussage "In der Nacht sind alle Katzen grau" ?

Re: FÜ Lösungsvorschlag

Verfasst: 14. Mär 2011 22:08
von lara
Es ist nicht der Fall, dass in der Nacht alle Katzen grau sind.

Re: FÜ Lösungsvorschlag

Verfasst: 14. Mär 2011 22:25
von GNut
also das einzige, was zu beachten gilt ist eigentlich der allquantor. Der wird in einen Existenzquantor umgewandelt. Und die zu erfuellende Eigenschaft (grau) wird auch verneint.
Lautet also:
Nicht (In der Nacht sind alle Katzen grau.) = In der Nacht existiert eine Katze, die nicht grau ist.

Re: FÜ Lösungsvorschlag

Verfasst: 14. Mär 2011 22:32
von lara
Ja, aber das von mir kann man auch machen.

Kann mir jemand sagen, wie ich bei F28 vorgehen muss. Ich weiß nicht, wie ich es mit vollständiger Induktion zeigen soll. :roll:

Re: FÜ Lösungsvorschlag

Verfasst: 14. Mär 2011 22:46
von lara
lara hat geschrieben:danke, ich glaube jetzt hab ich es verstanden.

bsp. 5°322, endziffer ist 0
Muss hier nicht endziffer 5???

5*5 = 25
*5 = ...5
*5 = ...5

also nur 5 als endziffer

Re: FÜ Lösungsvorschlag

Verfasst: 14. Mär 2011 22:59
von GNut
Induktionsanfang: fuer k=1 gilt es
Induktionsannahme: 8|(k^2-1) gelte fuer alle k element N und k ungerade
Induktionsschritt: (ich nehme hier k+2, da k+1 ja gerade ist)
(k+2)^2-1 = k^2 + 4k + 4 -1 = k^2 - 1 + 4(k+1) (hier hab ich einfach umsortiert und die 4 ausgeklammert)
der vordere Teil ist ja per Induktionsannahme durch 8 teilbar. Jetzt bleibt nur noch zu zeigen, dass 4(k+1) durch 8 teilbar ist. Den Teil kann man nochmal durch einen kleinen Induktionsbeweis zeigen (das geht relativ einfach) oder man nutzt aus, dass k ungerade ist. Heisst also, k+1 ist gerade und somit immer durch 2 teilbar, was wiederrum heisst, man kann eine 2 aus dem Term k+1 ausklammern und vor die Klammer ziehen. Somit ergibt ergibt 4(k+1) = 8((k+1)/2) was durch 8 teilbar ist. Und die Addition von 2 Zahlen, die durch 8 teilbar sind, ergibt eine Zahl, die ebenfalls durch 8 teilbar ist (anschaulich kann man eine 8 aus der Addition ausklammern).
Somit ist der Beweis erbracht.

edit: ja da muesste 5 als endziffer, hatte wohl nicht richtig mitgedacht ^^ Quasi 5 mal gerade zahl gibt 0 am ende, aber man multipliziert ja immer mit 5 und nicht mit dem exponent :roll: