FÜ Lösungsvorschlag

lara
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FÜ Lösungsvorschlag

Beitrag von lara » 11. Mär 2011 15:27

F1:
a) 1/2
b) 3
c) divergent
d) 2
e) e
f) e

lara
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Re: FÜ Lösungsvorschlag

Beitrag von lara » 11. Mär 2011 16:02

F2:
Grenzwert ist 2

aber wie beweise ich die Konvergenz? mit den Konvergenzkriterien!
hab folgenes berechnet: (an+1) = 7/5 ( für (an) = 1 in an+1 eingesetzt)

Dann: (an+1)/(an)
hab dann (7/5) *(an)

Was muss ich da machen?

lara
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Re: FÜ Lösungsvorschlag

Beitrag von lara » 11. Mär 2011 16:28

F5:

a) 7/6 als Grenzwert
b) 108 als Grenzwert

Kann jemand bestätigen?

lara
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Re: FÜ Lösungsvorschlag

Beitrag von lara » 11. Mär 2011 17:05

F6:
a) 0 (an=geom. Reihe) wie prüfe ich, ob es absolut konvergenz ist?
b) 4^n < (n+1)/2 (weiter bin ich nicht gekommen!
c) 1/2 -->mit Quotientenkr. --> absolut konvergent
d) 4/7 --> geom. Reihe (absolut konvergenz???)

ff. folgt... :)

kain
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Re: FÜ Lösungsvorschlag

Beitrag von kain » 11. Mär 2011 23:13

F2: der Grenzwert ist, soweit mir bekannt, Wurzel 2.

Nur wie beweisst man das?

GNut
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Re: FÜ Lösungsvorschlag

Beitrag von GNut » 12. Mär 2011 02:53

Wenn a eine ober(untere) Schranke hat, muss man nur noch zeigen, dass sie monoton (fallend) steigend ist (4.3.15 im Skript).
Als Schranke kannst du dir in dem Fall eine beliebige Zahl hernehmen, die groesser gleich dem grenzwert ist und Monotonie kann man ziemlich gut mit vollstaendiger Induktion beweisen.
Die F6 b laesst sich mit dem Quotientenkriterium ganz gut loesen.
Fuer F6 e-g lassen sich Majoranten finden und die F6h konnte man mit dem Wurzelkriterium geloest.
F3:
Nehme zunaechst an, dass a nur positive oder negative Folgenglieder hat. So ist der Betrag der Summe der Teilfolgen a(nk) eine geeignete Majorante.
Fuer den Fall, dass a poitive und negative Folgenglieder hat, dachte ich mir, man koennte in der Summe der Teilfolgen so umsortieren, dass man fuer jedes negative Folgenglied so viele Teilfolgen mit positiven Folgengliedern aufaddiert, dass das negative Vorzeichen verschwindet. So koennte man sich doch eine passende Majorante bauen oder?

F4:
Wenn die Folge b nach oben beschraenkt ist, ist sie immer kleiner als ihr Supremum (hier: m). die Summe ueber a ist absolut konvergent, und wenn man jetzt die Summe ueber a*m nimmt, ist die sich ergebende Reihe folglich groesser als die Summe ueber a*b . Da m eine Konstante ist, kann man sie vor die Summe ziehen, was sich auf den Grenzwert nur dahingehend auswirkt, dass der Grenzwert um den Faktor m groesser wird. Also existiert ein Grenzwert und die Reihe a*m ist konvergent und eine passende Majorante.
Fuer den Fall, dass die Folge b nach unten beschraenkt ist, grad mit |m| durchgehen.

F7:
Da konnte man doch eigentlich stur die Definition von f^-1 durchgehen oder?
Bei Aufgabenteil c muss man nur sehen, dass f^-1 von Y nichts anderes als X ergibt.

F8:
Beweis durch Widerspruch
Annahme: Alle Aussagen sind erfuellt und n ist das kleinste Element, fuer das A(n) nicht wahr ist.
Dann ist n-1 das groesste Element, fuer das A wahr ist.
Mit b) gilt aber auch, dass A((n-1)^2) wahr sein muss. (n-1)^2 ist aber groesser n fuer alle n groesser 2. Daher existiert ein Element, was groesser n und wahr ist.
Mit c) folgt, wenn man immer wieder 1 abzieht, ist das sich ergebende Element auch wahr. Somit gibt es ein Element, n+1 das wahr ist.
Somit ist aber auch n wahr, was im Widerspruch zur Annahme steht.

F9:
Der Fehler liegt in der Annahme, dass eine Gruppe mit gleichem Geschlecht + eine weitere Gruppe mit gleichem Geschlecht automatisch eine grosse Gruppe ergibt, in der alle das gleiche Geschlecht haben. Eine Gruppe von einer Frau und eine Gruppe von einem Mann haben beide innerhalb der Gruppe das gleiche Geschlecht, aber Mann und Frau in einer Gruppe ergibt keine gleichgeschlechtliche Gruppe.
Von daher ergibt die Addition von 2 Gruppen mit Leuten gleichen Geschlechts keinen Sinn.

Fuer F10, F11 und F12 lohnt sich ein Blick ins Skript, ist eigentlich nur Definitionen nachschlagen und nachrechnen.
Fuer F14 und F15 gibt es ein Applet zur Loesungskontrolle
http://interactive-mathvision.com/mck/L ... ult04.html
:)

F16:
a) gibt es ein Gegenbeispiel
b) noch keine Loesung gefunden
c) Stimmt nicht, da symmetrische Matrix und 3+7i nicht reell (Satz 3.11.18)
d) Kann man nachrechnen mit Saetzen 3.7.9 und 3.7.24 im Skript
e) gibt es ein Gegenbeispiel
f) laesst sich mit einem Beweis durch Widerspruch loesen
g) gibt es ein Gegenbeispiel
h) gibt es ein Gegenbeispiel
i) gibt es ein Gegenbeispiel
j) Nein. Betrachte Satz 4.3.24
k) gibt es ein Gegenbeispiel
l) gibt es ein Gegenbeispiel
m) laesst sich mit einem Beweis durch Kontraposition loesen
n) Ja, betrachte Satz 3.8.4
o) gibt es ein Gegenbeispiel
p) Ja, betrachte Satz 3.8.2
q) noch keine Loesung gefunden
r) gibt es ein Gegenbeispiel (z.B. negativ definite Matrizen)
s) Endlicher Koerper gilt genau dann, wenn es endlich viele Elemente gibt. Daher lassen sich nur endlich viele Elemente im Vektorraum bilden.

F17 (Hier muss man Addition und Multiplikation nachrechnen):
a) ja
b) ja
c) ja
d) nein
e) nein
f) nein

F18:
Nur die Nullmatrix hat den Rang 0. (Betrachte Defintion vom Rang im Skript)

F19:
Der Wertebereich muss nicht eingeschraenkt werden. Der Definitionsbereich ist so einzuschraenken, dass nur ein Ast der Parabel betrachtet wird. Entweder 0 bis unendlich
oder -unendlich bis 0. In der Umkehrfunktion vertauschen sich Werte und Definitionsbereich.

F20:
S^(-1)*A*S muss die Einheitsmatrix ergeben. Also ist S^(-1)*A=S^(-1) oder A*S=S. Also muss A die Einheitsmatrix sein.

F21:
notiz zu c) jede Symmetrische Matrix ist diagonalisierbar. (3.11.18)

F22:
noch keine Loesung gefunden

F23:
Dreht um die Winkelhalbierende der x1,x3 Ebene. Die Basisvektoren der Standardbasis mit der Abbildung rechnen ergibt die Darstellungsmatrix.
Skizze kann sehr hilfreich sein!

F24:
Symmetrie, Reflexivitaet und Transitivitaet nachrechnen.

F25, F26 im Skript nachlesen und nach den Formeln rechnen

F27:
Ueberlegung: Man muss nur die Endziffer betrachten. Entweder ergibt sie 9 bei ungeraden Potenzen oder 1 bei geraden Potenzen.

F28:
Mit vollstaendiger Induktion zeigen


Ist ziemlich lang geworden. Gegenbeispiele kann ich auf Anfrage nachliefern, sollten eigentlich aber nach etwas ueberlegen zu finden sein :)
Hab versucht, eher die Loesungswege hinzuschreiben, als die Loesung selber. Sollte etwas nicht stimmen (was gut moeglich sein kann), bitte meldet euch.
Meine Lerngruppe bedankt sich :)

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Re: FÜ Lösungsvorschlag

Beitrag von lara » 12. Mär 2011 09:44

F21:
a) det(A) = 0
Rang(A) = 3
Spur(A) = 0

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Re: FÜ Lösungsvorschlag

Beitrag von Cpro » 12. Mär 2011 10:43

det und spur hab' ich auch so.
Rang ist bei mir 2, denn

2 1 0
2 2 2 Zweite Zeile minus Erste Zeile
0 1 2

2 1 0
0 1 2
0 1 2 Dritte Zeile = Zweite Zeile und somit

2 1 0
0 1 2
0 0 0
folgt Rang = 2

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Re: FÜ Lösungsvorschlag

Beitrag von Blubberer » 12. Mär 2011 13:21

kurz über die ferienübung geschaut...
f2 durch umformen

man setzt ein

lim a(n) = (3 * lim a(n) +4)/(2*lim a(n) +3) |||||||||||||||| | *(2*lim a(n) +3) /lim a(n)
-> (2*lim a(n) +3) = (3 * lim a(n) +4) / ( lim a(n)) |||||||||||||||| | spalte den hinteren term auf
-> (2*lim a(n) +3) = (3 * lim a(n) / lim a(n)) + 4 /lim a(n) |||||||||||||||| | kürze lim a(n)
-> 2*lim a(n) +3= 3 + 4 / lim a(n) |||||||||||||||| | subtrahiere 3
-> 2*lim a(n)= 4 / lim a(n) |||||||||||||||| | *lim a(n) /2
-> (lim a(n))² = 2 |||||||||||||||| | ziehe wurzel

lim a(n) = wurzel (2)

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Re: FÜ Lösungsvorschlag

Beitrag von lara » 12. Mär 2011 21:07

@Cpro:
ich hab eine andere matrix. kann es sein, dass statt die 2er in der zweiten zeile nur 1er stehen. bei mir zumindest nur 1er.

Hab dann Rang 3 raus.

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Re: FÜ Lösungsvorschlag

Beitrag von Cpro » 12. Mär 2011 21:12

@lara, yo das tun sie... hab das ganze mit 2 multipliziert... darf ich oder darf ich das nicht, das ist hier die Frage^^

p24
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Re: FÜ Lösungsvorschlag

Beitrag von p24 » 13. Mär 2011 15:06

GNut hat geschrieben: F19:
Der Wertebereich muss nicht eingeschraenkt werden. Der Definitionsbereich ist so einzuschraenken, dass nur ein Ast der Parabel betrachtet wird. Entweder 0 bis unendlich
oder -unendlich bis 0. In der Umkehrfunktion vertauschen sich Werte und Definitionsbereich.
Also ich bin der Meinung, dass natürlich auch der Wertebereich auf 1 bis unendlich eingeschränkt werden muss, da die Funktion sonst nicht surjektiv ist und damit auch nicht bijektiv.

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Re: FÜ Lösungsvorschlag

Beitrag von lara » 13. Mär 2011 22:03

genau so hab ich auch die F19)

Kann mir jemand bei F15 helfen. hat für Q (3/5, 1/5, -2/5, 2/5) raus

für Z3 und Z5 ist die Gleichung nicht lösbar. ist das richtig? bekomme bei beiden eine nullzeile.

p24
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Re: FÜ Lösungsvorschlag

Beitrag von p24 » 13. Mär 2011 22:28

ja, das habe ich auch für Q bei F15 raus.
Für Z3, Z5 bin ich mir aber auch nicht so sicher - Nullzeile heißt ja nicht, dass es nicht lösbar ist....

lara
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Re: FÜ Lösungsvorschlag

Beitrag von lara » 13. Mär 2011 22:48

also kam bei dir auch bei beiden Nullzeile raus. dann müsste es stimmen.

Z3:
1 1 0 2 I 1
0 1 0 2 I 1
0 0 2 1 I 2
0 0 0 0 I 0

und Z5:

1 1 2 0 I 0
0 1 0 2 I 1
0 0 1 1 I 2
0 0 0 0 I 4

sieht es bei dir auch so aus?

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