H18 c

Flo S
Windoof-User
Windoof-User
Beiträge: 34
Registriert: 27. Apr 2010 22:50

H18 c

Beitrag von Flo S »

Irgendwie ist mir die Aufgabenstellung hier sehr unklar, und, so wie ich es derzeit verstehe auch teilweise falsch.

Sei nun V ein beliebiger n-dimensionaler Vektorraum und U ein beliebiger Untervektorraum von V. Geben Sie
allgemein die Orthogonalprojektion u von v an und weisen Sie nach, dass v −u senkrecht auf U steht.
Hinweis: Wählen Sie eine geeignete Orthonormalbasis.

1.) "Wählen Sie eine geeignete Orthonormalbasis" - So wie ich es verstehe sollen wir dies doch allgemeingültig, also nicht anhand eines Beispiels zeigen. Warum dann dieser "Hinweis" ?!?

2.) "... und weisen Sie nach, dass v-u senkrecht auf U steht." - Ich schätze mal hiermit ist gemeint, dass v-u senkrecht auf jeden Vektor aus U stehen soll (Orthogonalprojektion).

3.) "Sei nun V ein beliebiger n-dimenstionaler Vektorraum und U ein beliebiger Untervektorraum von V." - Hierzu zwei Dinge. Unter Bezug auf Bemerkung 3.2.2. sei U = V, dann gibt es keine Orthogonalprojektion, da V die gleiche Anzahl an Dimensionen wie U hat, ein senkrechter Vektor aber mindestens eine Dimension mehr haben müsste. Zweitens, wegen des Hinweises liegt nahe, dass gemeint wurde, dass U durch eine Orthonormalbasis erzeugt wird. Soll dies der Fall sein?!?

Bin einfach nur verwirrt, was genau mit dieser Aufgabenstellung nun gemeint ist.

philipp_m
Mausschubser
Mausschubser
Beiträge: 99
Registriert: 4. Dez 2010 18:10

Re: H18 c

Beitrag von philipp_m »

Ich sitze gerade an der selben Aufgabe und auch wenn ich mir über den Lösungsweg noch nicht ganz sicher bin, schätze ich zu deinen Fragen:
1.) Ich hätte hier die Standardbasis genommen, da diese mit dem Standardskalarprodukt für alle IR^n eine Orthonormalbasis ist. Zu mindest schränkt man somit die Anzahl n der Dimensionen des IR-Vektorraums nicht ein wie bei einem konkreten Beispiel.
2.) Wie du sagst; wenn du das allerdings für (c) fragst, würde mich dein Beweis für (b) interessieren, da ich es bereits dort so bewiesen habe.
3.) Habe ich noch nicht drüber nachgedacht, ich hoffe einfach die Antwort ergibt sich im Laufe der Aufgabe.

Wäre aber praktisch, wenn sich eventuell noch jemand dazu äußern könnte, der mit der Aufgabe bereits fertig ist.

Flo S
Windoof-User
Windoof-User
Beiträge: 34
Registriert: 27. Apr 2010 22:50

Re: H18 c

Beitrag von Flo S »

Also H18 a.) und b.) sind wirklich sehr einfach, die H19 ebenso. Aber bei der c.) und daraus resultierend in gewisser weise auch die d.) ist die Fragestellung - finde ich - einfach blöd. Ich sitze nun schon so das halbe Wochenende mit zwei Komilitionen hier und wir sind uns absolut nicht sicher, was überhaupt die Fragestellung von uns will:

Möglichkeit 1: V ist R^n für n Element der natürlichen Zahlen und U ein Unterraum von V mit mindestens einer Dimension weniger.
Würde Sinn ergeben und ist auch relativ einfach zu lösen. Dies ist die "mögliche" Fragestellung, die am ehesten mit der eigentlichen Aufgabe (Zeigen des Satzes) übereinstimmt.
U muss eine Dimension weniger haben, da wir im Skript eine andere Definition bezüglich der Orthogonalprojektion haben, als ich sie sonst in Sekundärliteratur (Büchern / Skripte anderer Universitäten) gefunden habe und wir sonst bei U = V ein Problem haben.
Beispiel: Setz mal in R^1 zwei Geraden senkrecht aufeinander oder finde in R^2 einen Vektor, der auf z.B. beiden Achsen senkrecht steht.

Möglichkeit 2: V ist R^n für n Element der natürlichen Zahlen und U ein Unterraum, der durch eine Orthonormalbasis erzeugt wird.
Auch dies ergibt Sinn und ist auch nicht grade schwer zu lösen. Diese "mögliche" Fragestellung kann man sich bezüglich des Hinweises und Aufgabenteil a.) sowie b.) herleiten.

Möglichkeit 3: V ist ein beliebiger n-dimensionaler Vektorraum und U ein beliebiger Unterraum von V.
Dies ergibt zwar ansatzweise Sinn, jedoch stößt man hier auf gewaltige Probleme. Gibt es ein Skalarprodukt, wenn ja welches? Da V nun ja nicht mehr auf R^n limitiert ist, muss es nicht das Standardskalarprodukt sein. Zweitens gibt es Fälle, die nicht lösbar sind. So gibt es keinerlei Orthogonalprojektionen für V = U (zumindest würd mir nichts einfallen). Die einzige Lösung hierzu wäre eine sehr ungenaue Formulierung bezüglich der Orthogonalität und dem Skalarprodukt.

klaro
Mausschubser
Mausschubser
Beiträge: 51
Registriert: 16. Okt 2006 22:05
Wohnort: Offenbach am Main

Re: H18 c

Beitrag von klaro »

Generell ne Frage zur H18 a)
Kann mir da bitte einer sagen, was der Vektor U=<e1> ist? Ist das der Vektor (0,1)?

Danke.

Flo S
Windoof-User
Windoof-User
Beiträge: 34
Registriert: 27. Apr 2010 22:50

Re: H18 c

Beitrag von Flo S »

Siehe Bemerkung 3.4.15

obebo
Windoof-User
Windoof-User
Beiträge: 29
Registriert: 20. Dez 2010 00:00

Re: H18 c

Beitrag von obebo »

Ich werde immer noch nicht schlau, draus was U = <e1> bedeuten soll und wie das ein Untervektorraum von R² sein soll :?:

philipp_m
Mausschubser
Mausschubser
Beiträge: 99
Registriert: 4. Dez 2010 18:10

Re: H18 c

Beitrag von philipp_m »

Flo S hat geschrieben:Also H18 a.) und b.) sind wirklich sehr einfach, die H19 ebenso. Aber bei der c.) und daraus resultierend in gewisser weise auch die d.) ist die Fragestellung - finde ich - einfach blöd. Ich sitze nun schon so das halbe Wochenende mit zwei Komilitionen hier und wir sind uns absolut nicht sicher, was überhaupt die Fragestellung von uns will:

Möglichkeit 1: V ist R^n für n Element der natürlichen Zahlen und U ein Unterraum von V mit mindestens einer Dimension weniger.
Würde Sinn ergeben und ist auch relativ einfach zu lösen. Dies ist die "mögliche" Fragestellung, die am ehesten mit der eigentlichen Aufgabe (Zeigen des Satzes) übereinstimmt.
U muss eine Dimension weniger haben, da wir im Skript eine andere Definition bezüglich der Orthogonalprojektion haben, als ich sie sonst in Sekundärliteratur (Büchern / Skripte anderer Universitäten) gefunden habe und wir sonst bei U = V ein Problem haben.
Beispiel: Setz mal in R^1 zwei Geraden senkrecht aufeinander oder finde in R^2 einen Vektor, der auf z.B. beiden Achsen senkrecht steht.

Möglichkeit 2: V ist R^n für n Element der natürlichen Zahlen und U ein Unterraum, der durch eine Orthonormalbasis erzeugt wird.
Auch dies ergibt Sinn und ist auch nicht grade schwer zu lösen. Diese "mögliche" Fragestellung kann man sich bezüglich des Hinweises und Aufgabenteil a.) sowie b.) herleiten.

Möglichkeit 3: V ist ein beliebiger n-dimensionaler Vektorraum und U ein beliebiger Unterraum von V.
Dies ergibt zwar ansatzweise Sinn, jedoch stößt man hier auf gewaltige Probleme. Gibt es ein Skalarprodukt, wenn ja welches? Da V nun ja nicht mehr auf R^n limitiert ist, muss es nicht das Standardskalarprodukt sein. Zweitens gibt es Fälle, die nicht lösbar sind. So gibt es keinerlei Orthogonalprojektionen für V = U (zumindest würd mir nichts einfallen). Die einzige Lösung hierzu wäre eine sehr ungenaue Formulierung bezüglich der Orthogonalität und dem Skalarprodukt.
Ist Möglichkeit 3 nicht nach der Aufgabenstellung direkt ausgeschlossen?
Es heißt ja "Es sei V ein n-dimensionaler R-Vektorraum" und nicht etwa "Es sei V ein n-dimensionaler K-Vektorraum" in der Aussage, die wir zeigen wollen, und es würde wenig Sinn ergeben, wenn wir dann in den Aufgabenteilen etwas viel Allgemeineres zeigen würden.

Und allgemein noch die kurze Frage: Das mit der Standardbasis und dem Standardskalarprodukt ist bei (a) und (b) schon der richtige Ansatz oder? Und mit zeichnen ist auch wirklich das konkrete Zeichnen mit Koordinatensystem, etc. gemeint? Ich kam mir nämlich bei (a) und (b) im Vergleich zu den sonstigen Aufgaben etwas blöd vor.

@Obebo: In Bemerkung 3.4.15 steht direkt im ersten Satz, was e1 ist, sofern ich das nicht falsch verstanden habe, und was <e1> dann bedeutet, sollte klar sein (=> lineare Hülle).

Flo S
Windoof-User
Windoof-User
Beiträge: 34
Registriert: 27. Apr 2010 22:50

Re: H18 c

Beitrag von Flo S »

In Aufgabenteil c.) heißt es aber grade, dass V ein beliebiger n-dimensionaler Vektorraum ist.
Also damit das Kriterium, dass V ein n-dimensionaler R-Vektorraum aufgeweicht / erweitert wird, auf eben alle n-dimensionalen Vektorräume.
Zumindest, wenn man genau die Formulierung nimmt, die gegeben ist. Bringt man es mit der Aufgabe in Kontext, dann KANN es interpretiert werden,
dass V ein R-Vektorraum ist, aber nicht notwendigerweise. Wäre nicht die erste Aufgabe, bei der man erst für einen Teil etwas beweißt, und dann
verallgemeinert. Wobei das hier - soweit ich weiß - unmöglich ist, da eben außerhalb von R^n kein Skalarprodukt gegeben sein muss.
Selbst wenn V ein R-Vektorraum ist, dann bleibt immernoch, dass es in V = U keine Orthogonalprojektion gibt, zumindest keine die auf allen u aus U
gleichzeitig senkrecht ist.
In verfügbarer Sekundärliteratur ist beispielsweise definiert, dass entweder U eine Dimension weniger haben muss als V, oder eben V (mindestens)
aus U und dem Orthogonalen Komplement von U besteht. Vgl z.B. das Skript der Uni Freiburg:
http://home.mathematik.uni-freiburg.de/ ... t/6.ss.pdf

philipp_m
Mausschubser
Mausschubser
Beiträge: 99
Registriert: 4. Dez 2010 18:10

Re: H18 c

Beitrag von philipp_m »

Flo S hat geschrieben:In Aufgabenteil c.) heißt es aber grade, dass V ein beliebiger n-dimensionaler Vektorraum ist.
Also damit das Kriterium, dass V ein n-dimensionaler R-Vektorraum aufgeweicht / erweitert wird, auf eben alle n-dimensionalen Vektorräume.
Zumindest, wenn man genau die Formulierung nimmt, die gegeben ist. Bringt man es mit der Aufgabe in Kontext, dann KANN es interpretiert werden,
dass V ein R-Vektorraum ist, aber nicht notwendigerweise. Wäre nicht die erste Aufgabe, bei der man erst für einen Teil etwas beweißt, und dann
verallgemeinert. Wobei das hier - soweit ich weiß - unmöglich ist, da eben außerhalb von R^n kein Skalarprodukt gegeben sein muss.
Selbst wenn V ein R-Vektorraum ist, dann bleibt immernoch, dass es in V = U keine Orthogonalprojektion gibt, zumindest keine die auf allen u aus U
gleichzeitig senkrecht ist.
In verfügbarer Sekundärliteratur ist beispielsweise definiert, dass entweder U eine Dimension weniger haben muss als V, oder eben V (mindestens)
aus U und dem Orthogonalen Komplement von U besteht. Vgl z.B. das Skript der Uni Freiburg:
http://home.mathematik.uni-freiburg.de/ ... t/6.ss.pdf
Klar könnte das streng genommen so gemeint sein aber wieso erwähnt man im zu beweisenden Satz dann überhaupt IR-Vektorräume, wenn man es im Endeffekt allgemeiner für alle K-Vektorräume beweist? (Unter der Annahme, dass solch ein Beweis überhaupt möglich ist, was ohne weitere Einschränkungen definitiv nicht der Fall ist, wie du bereits erwähntest)

Welche Zusatzbedingungen jetzt gegeben sind, würde mich allerdings auch interessieren, denn so, wie die Aufgabe da steht, fehlt da definitiv etwas.

doemel
Mausschubser
Mausschubser
Beiträge: 75
Registriert: 23. Okt 2010 11:45
Kontaktdaten:

Re: H18 c

Beitrag von doemel »

philipp_m hat geschrieben: In Bemerkung 3.4.15 steht direkt im ersten Satz, was e1 ist, sofern ich das nicht falsch verstanden habe,
Es gibt unendlich viele \(e_1\). Die Bemerkung 3.4.15 sagt nur aus, dass \(e_1\) bis \(e_n\) orthogonanal aufeinander sind und die Länge von 1 haben.
Ich würde für die Aufgabe zwar von dem Vektor (1,0) ausgehen, aber definiert ist das nirgends.

MfG Dömel

kartzow
Mausschubser
Mausschubser
Beiträge: 55
Registriert: 8. Apr 2010 14:12

Offizielle Kommentare zur Aufgabenstellung

Beitrag von kartzow »

Hallo,

habe den Thread nur ueberflogen, aber um 2 Sachen sicherzustellen:

1) In Aufgabe H18a) bezeichnet \(e_1\) schon den ersten Standardbasisvektor (1,0)

2) Unter c) ist natuerlich ein beliebiger n-dimensionaler \(\mathbb{R}\)-Vektorraum gemeint. Es soll ja schliesslich, der Satz aus dem Aufgabentext bewiesen werden und der reden eben nur von \(\mathbb{R}\)-Vektorraeumen.



Und weil der Fall U=V angesprochen war: In diesem Fall ist die Betrachtung des Nullvektors angebracht.


Alexander Kartzow - Assistent Mathe I (W)Inf.

lara
Endlosschleifenbastler
Endlosschleifenbastler
Beiträge: 161
Registriert: 1. Mai 2008 16:05

Re: H18 c

Beitrag von lara »

Hi,

kann mir bitte jemand nochmal die aufgabe H18 c und d erklären?

danke...

Antworten

Zurück zu „Archiv“