H12

kain
Mausschubser
Mausschubser
Beiträge: 92
Registriert: 30. Sep 2009 13:49

H12

Beitrag von kain » 27. Nov 2010 17:27

Habe da eine Frage zur H12a. Man soll zeigen, dass für alle a \(\in\) K mit a > 0 auch -a < 0 gilt.
Langt es schon, wenn man einfach -a auf die andere Seite bringt? Oder muss man hier die Anordnungsaxiome verwenden? Die gleiche Frage auch für die b. Da die Quadratzahlen nicht negativ sind, wie muss hier der Beweis aussehen? Werden auch hier die Anordnungsaxiome verlangt?

kartzow
Mausschubser
Mausschubser
Beiträge: 55
Registriert: 8. Apr 2010 14:12

Re: H12

Beitrag von kartzow » 28. Nov 2010 14:53

Hallo,

in der Aufgabe sind die Axiome eines angeordneten Koerpers und alle Saetze ueber Koerper / angeordnete Koerper aus der Vorlesung verwendbar.

Achtung: Die Axiome des angeordneten Koerpers sprechen ueber \(\leq\) und nicht ueber \(<\)

kain
Mausschubser
Mausschubser
Beiträge: 92
Registriert: 30. Sep 2009 13:49

Re: H12

Beitrag von kain » 28. Nov 2010 15:26

Ist es nicht analog dazu? Muss man jetzt also zuerst < von den Axiomen ableiten bzw. beweisen?
Kann mir jemand ein Tipp geben? Skriptseite oder ähnliches?

Außerdem, wenn ich die "Regeln" der Algebra anwende, dann komme ich doch auf das Ergebnis?

kartzow
Mausschubser
Mausschubser
Beiträge: 55
Registriert: 8. Apr 2010 14:12

Re: H12

Beitrag von kartzow » 28. Nov 2010 15:56

Im wesentlichen kannst du deinen Vorschlag umsetzen, ich wollte nur darauf hinweisen, dass die die Axiome des angeordenten koerpers sagen, dass

wenn \(a>0\), dann ist \(a+b \geq 0+b\), aber nicht automatisch \(a+b > 0+b\)

MaMaj
Endlosschleifenbastler
Endlosschleifenbastler
Beiträge: 158
Registriert: 8. Okt 2007 15:38
Wohnort: Dreieich
Kontaktdaten:

Re: H12

Beitrag von MaMaj » 8. Mär 2011 14:13

In der Musterlösung H12 a) wird gesagt:

Wäre -a >= 0 für ein a > 0, dann wäre:

0 = a + (-a) >= a + 0 >= a

Das erschließt sich mir nicht, weil wir doch annehmen, das -a >= 0 ist. Dann kann ich doch keine Ungleichung beginnen mit 0 = a + (-a), da ich eine Zahl die größer Null ist mit einer Zahl die größer-gleich Null ist addiere... Da kann nie im Leben etwas gleich Null rauskommen. Somit habe ich einen Widerspruch bereits an einer Stelle, an der ich noch nichts gezeigt oder widerlegt habe, zumal die Argumentation doch darauf basiert, das 0 >= a bei dieser Ungleichung rauskommt und das a > 0 widerspricht. Dafür müsste aber die erste Gleichung stimmen, was sie aber nicht tut.

Unter der Annahme von oben müsste der Spaß doch so aussehen:

0 < a + (-a) >= a + 0 >= a

Das könnte ich doch jetzt höchstens Umformen zu:

a + (-a) >= a + 0 >= a - 0 => a + (-a) >= a und das stimmt doch... wo ist der Wiederspruch?

Wo ist vor allem mein Denkfehler?

Ich habe die Aufgabe damals über die Definition 2.4.16 (Zweiter Punkt) gelöst.

Benutzeravatar
bruse
Kernelcompilierer
Kernelcompilierer
Beiträge: 412
Registriert: 2. Aug 2006 22:42

Re: H12

Beitrag von bruse » 8. Mär 2011 15:45

MaMaj hat geschrieben:Dann kann ich doch keine Ungleichung beginnen mit 0 = a + (-a), da ich eine Zahl die größer Null ist mit einer Zahl die größer-gleich Null ist addiere... Da kann nie im Leben etwas gleich Null rauskommen.
Das ist sieht natürlich intuitiv klar aus, aber hast Du auch bewiesen, dass für den gegeben Fall nie Null herauskommen kann? Nur aus der Anschauung heraus kann man ja nicht argumentieren. In den Übungen ist ja eigentlich auch gezeigt worden, dass Anschauung auch mal falsch sein kann.

Die Gleichung 0 = a + (-a) gilt hingegen in jeder Gruppe. Überleg Dir mal, warum. Der Widerspruch entsteht dann ja gerade eben, weil angenommen wurde, dass a und -a beide kleiner/gleich Null sind.
Un hombre de frente a una ventana
Súper lúcida la mirada
Recorre el paisaje y no,
no es su interior, es luna.

MaMaj
Endlosschleifenbastler
Endlosschleifenbastler
Beiträge: 158
Registriert: 8. Okt 2007 15:38
Wohnort: Dreieich
Kontaktdaten:

Re: H12

Beitrag von MaMaj » 9. Mär 2011 13:22

bruse hat geschrieben:
MaMaj hat geschrieben:Dann kann ich doch keine Ungleichung beginnen mit 0 = a + (-a), da ich eine Zahl die größer Null ist mit einer Zahl die größer-gleich Null ist addiere... Da kann nie im Leben etwas gleich Null rauskommen.
Das ist sieht natürlich intuitiv klar aus, aber hast Du auch bewiesen, dass für den gegeben Fall nie Null herauskommen kann? Nur aus der Anschauung heraus kann man ja nicht argumentieren. In den Übungen ist ja eigentlich auch gezeigt worden, dass Anschauung auch mal falsch sein kann.

Die Gleichung 0 = a + (-a) gilt hingegen in jeder Gruppe. Überleg Dir mal, warum. Der Widerspruch entsteht dann ja gerade eben, weil angenommen wurde, dass a und -a beide kleiner/gleich Null sind.
Ah, okay, jetzt verstehe ich das (denke ich). Wir wenden direkt die Definition einer Gruppe an, und die besagt ja, dass es in einer Gruppe ein Inverses Element gibt. In einer Gruppe welche die Addition als Operation hat, ist das Inverse Element zu einem Element a genau das Element -a. Und das inverse Element angewandt mittels der Operation auf das Ausgangselement bildet das neutrale Element und das ist in dem Fall ja die Null. Somit hat man hier ausgenutzt dass wir über Gruppen argumentieren und dann zu einem Widerspruch kommen, der diese Definition ad absurdum führt. Richtig?

Antworten

Zurück zu „Archiv“