Ü08 G28 b)

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glowhand
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Ü08 G28 b)

Beitrag von glowhand » 20. Feb 2009 16:16

Hi
Wollte mal fragen, was es mit der Aufgabe Ü8-G28 b) auf sich hat.
Man soll überprüfen, ob die Funktion f(x) = |x^3| differenzierbar ist.
Meiner Meinung nach wäre die Ableitung einfach |3x^2|. Laut Musterlösung ist aber die Stelle 0 problematisch... Warum?
|0^3| = 0... und |3*0^2| ist ebenfalls 0...
Als Endlösung wird dann gesagt, die Ableitung wäre f'(x)=3*x^2 wenn x > 0, f'(x)=-3*x^2 wenn x < 0 und f'(0) = 0... was ja, wenn man den Graphen zeichnet, auch richtig ist.
Das ganze Zeugs mit mit den Limes h gegen 0 blick ich nicht :(

Christoph-D
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Re: Ü08 G28 b)

Beitrag von Christoph-D » 20. Feb 2009 18:29

glowhand hat geschrieben:Man soll überprüfen, ob die Funktion f(x) = |x^3| differenzierbar ist.
Meiner Meinung nach wäre die Ableitung einfach |3x^2|. Laut Musterlösung ist aber die Stelle 0 problematisch... Warum?
|3x^2| ist nirgends negativ, deswegen kann das nicht die Ableitung von |x^3| sein. Denn schon aus dem Graphen kann man abschätzen, dass die Ableitung für x < 0 negativ sein wird.
glowhand hat geschrieben:|0^3| = 0... und |3*0^2| ist ebenfalls 0...
Als Endlösung wird dann gesagt, die Ableitung wäre f'(x)=3*x^2 wenn x > 0, f'(x)=-3*x^2 wenn x < 0 und f'(0) = 0... was ja, wenn man den Graphen zeichnet, auch richtig ist.
Das ganze Zeugs mit mit den Limes h gegen 0 blick ich nicht :(
Die Betragsfunktion ist stückweise definiert: \(|x| = \begin{cases}x & \text{f\"ur $x \geq 0$}\\ -x & \text{f\"ur $x < 0$}\end{cases}\). Deswegen wäre es gut, die Funktion |x^3| auch stückweise abzuleiten. Für x < 0 und x > 0 gibt es keine Probleme, weil beim Differenzenquotienten die Betragsstriche rausfallen. Man bekommt \(f'(x) = \begin{cases}\hphantom{-}3x^2 & \text{f\"ur $x > 0$}\\ -3x^2 & \text{f\"ur $x < 0$}\end{cases}\), es fehlt also nur noch die Ableitung an der Stelle 0. Dafür kann man sich den Differenzenquotienten ansehen:
\(f'(0) = \lim_{h \to 0}\frac{f(0 + h)-f(0)}{h} = \lim_{h \to 0}\frac{|h^3|}{h}\).

Jetzt kannst du h einmal von der positiven Seite und einmal von der negativen Seite gegen 0 laufen lassen (Notation ist nicht standardisiert, \(h\to{0+}\) soll hier bedeuten "limes von h gegen 0, h immer positiv"):
\(\lim_{h \to {0+}}\frac{|h^3|}{h} \stackrel{\small h>0}{=} \lim_{h \to {0+}}\frac{h^3}{h} = \lim_{h \to {0+}}h^2 = 0\).
Analog für Folgen von der "linken" Seite:
\(\lim_{h \to {0-}}\frac{|h^3|}{h} \stackrel{\small h<0}{=} \lim_{h \to {0-}}\frac{-h^3}{h} = \lim_{h \to {0-}}-h^2 = 0\).

Die beiden Grenzwerte existieren und stimmen überein, also existiert die Ableitung von |x^3| an der Stelle 0 und es ist f'(0) = 0. Insgesamt ist es genau das, was in der Musterlösung steht:
\(f'(x) = \begin{cases}\hphantom{-}3x^2 & \text{f\"ur $x > 0$}\\\hphantom{-}0 & \text{f\"ur $x = 0$} \\ -3x^2 & \text{f\"ur $x < 0$}\end{cases}\)
oder zusammengefasst:
\(f'(x) = 3 x \cdot |x|\)
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glowhand
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Re: Ü08 G28 b)

Beitrag von glowhand » 21. Feb 2009 17:01

danke , ein licht ging mir auf :wink:

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Re: Ü08 G28 b)

Beitrag von fetzer » 22. Feb 2009 01:33

Christoph-D hat geschrieben: Die Betragsfunktion ist stückweise definiert: \(|x| = \begin{cases}x & \text{f\"ur $x \geq 0$}\\ -x & \text{f\"ur $x < 0$}\end{cases}\). Deswegen wäre es gut, die Funktion |x^3| auch stückweise abzuleiten. Für x < 0 und x > 0 gibt es keine Probleme, weil beim Differenzenquotienten die Betragsstriche rausfallen. Man bekommt \(f'(x) = \begin{cases}\hphantom{-}3x^2 & \text{f\"ur $x > 0$}\\ -3x^2 & \text{f\"ur $x < 0$}\end{cases}\), es fehlt also nur noch die Ableitung an der Stelle 0.
Warum kann ich jetzt hier nicht einfach von der Definition der Betragsfunktion ausgehen und sagen, dass ich einmal \($x \geq 0$\) und zum anderen \($x < 0$\) habe und damit meine Ableitungen erstellen kann:
\(f'(x) = \begin{cases}\hphantom{-}3x^2 & \text{f\"ur $x \geq 0$}\\ -3x^2 & \text{f\"ur $x < 0$}\end{cases}\)

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Re: Ü08 G28 b)

Beitrag von Christoph-D » 22. Feb 2009 02:55

fetzer hat geschrieben:
Christoph-D hat geschrieben: Die Betragsfunktion ist stückweise definiert: \(|x| = \begin{cases}x & \text{f\"ur $x \geq 0$}\\ -x & \text{f\"ur $x < 0$}\end{cases}\). Deswegen wäre es gut, die Funktion |x^3| auch stückweise abzuleiten. Für x < 0 und x > 0 gibt es keine Probleme, weil beim Differenzenquotienten die Betragsstriche rausfallen. Man bekommt \(f'(x) = \begin{cases}\hphantom{-}3x^2 & \text{f\"ur $x > 0$}\\ -3x^2 & \text{f\"ur $x < 0$}\end{cases}\), es fehlt also nur noch die Ableitung an der Stelle 0.
Warum kann ich jetzt hier nicht einfach von der Definition der Betragsfunktion ausgehen und sagen, dass ich einmal \($x \geq 0$\) und zum anderen \($x < 0$\) habe und damit meine Ableitungen erstellen kann:
\(f'(x) = \begin{cases}\hphantom{-}3x^2 & \text{f\"ur $x \geq 0$}\\ -3x^2 & \text{f\"ur $x < 0$}\end{cases}\)
Ich habe oben eine Kleinigkeit ausgelassen: Eine stückweise definierte Funktion stückweise ableiten geht nur unter einer Voraussetzung: Die Stücke müssen (relativ zum Definitionsbereich der Funktion) offene Mengen sein. Denn nur dann ist sichergestellt, dass für jedes x auch wirklich eine epsilon-Umgebung um dieses x drumherum existiert, sodass man von der "Ableitung" an dieser Stelle sprechen kann.

Leider kann man aber die reellen Zahlen nicht mit mehreren offenen disjunkten Mengen überdecken. Deswegen kommt man nicht daran vorbei, die Randpunkte extra zu behandeln. Bei der stückweisen Definition der Betragsfunktion ist 0 der einzige Randpunkt.

Bei der Betragsfunktion sind die Intervalle \((-\infty, 0)\) und \((0, \infty)\) offene Mengen, deswegen kann man \(|x^3|\) problemlos auf diesen Intervallen ableiten. Aber die Menge \((-\infty, 0]\) ist nicht offen in \(\mathbb{R}\), deswegen kann man allein auf dieser Menge nicht die Ableitung and der Stelle x=0 bestimmen.
"I believe in the fundamental interconnectedness of all things." (Dirk Gently)

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