Übung 6 + Häufungspunkte

ab26iget.stud.tu
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Übung 6 + Häufungspunkte

Beitrag von ab26iget.stud.tu » 17. Feb 2009 18:49

Definition II.3.1 :

Sei D in R. Ein Häufungspunkt von D ist ein y in R, sodaß
lim Xn = y für eine Folge (Xn), deren Glieder alle in D \ {y} liegen. Wir
bezeichnen die Menge der Häufungspunkte von D mit H(D).


Warum sollen die glieder in D \ {y} liegen ?
ich habe in anderen bücher einfach (.. in D) gefunden !!
Gibt es ein Problem mit y ??
Vielen Dank !!

Christoph-D
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Re: Übung 6 + Häufungspunkte

Beitrag von Christoph-D » 17. Feb 2009 19:00

ab26iget.stud.tu hat geschrieben:Gibt es ein Problem mit y ??
Ja: Du erlaubst so die konstante y-Folge, d.h. die Folge (y, y, y, y, y, ...). Die Folge konvergiert gegen y und so eine Folge gibt es immer, egal wie man \(y \in D\) wählt. Deswegen wäre jedes \(y \in D\) ein Häufungspunkt von D, wenn man y in der besagten Folge erlauben würde.

Edit: Ein konkretes Gegenbeispiel ist die Menge D = {0}. Dort ist 0 kein Häufungspunkt von D, weil es keine Folge \((x_n)_{n\in\mathbb{N}}\) in D\{0} gibt, die gegen 0 konvergiert. Die Menge D\{0} ist sogar leer, deswegen gibt es überhaupt keine Folge in D\{0}. In der Menge D gibt es aber natürlich die konstante Folge (0, 0, 0, 0, ...), die gegen 0 konvergiert.
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