Skript Beispiel 2.3

Nik
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Skript Beispiel 2.3

Beitrag von Nik » 28. Okt 2008 17:15

Warum hat denn die Menge \(A= \{ r\in\mathbb{Q} | r^2 < 2 \}\) kein Supremum in Q?

Edit: Hat sich erledigt...

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Re: Skript Beispiel 2.3

Beitrag von Puppetmaster » 30. Okt 2008 15:27

aloha,

fände es trotzdem gut, wenn du die antwort noch posten würdest.

a hui hau
lauerlie

Christoph-D
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Re: Skript Beispiel 2.3

Beitrag von Christoph-D » 30. Okt 2008 18:41

Puppetmaster hat geschrieben:fände es trotzdem gut, wenn du die antwort noch posten würdest.
Ein anschauliches Argument wäre, dass das Supremum dieser Menge in \(\mathbb{R}\) die Zahl \(\sqrt2\) wäre, die aber nicht in \(\mathbb{Q}\) liegt.

Formal kann man das z.B. so aufschreiben (Beweis durch Widerspruch):
Angenommen \(x \in \mathbb{Q}\) ist das Supremum der gegebenen Menge A.
Fall 1: \(x^2 = 2\). Unmöglich, weil \(\sqrt2 \notin \mathbb{Q}\).
Fall 2: \(x^2 < 2\). Weil \(\mathbb{Q}\) in \(\mathbb{R}\) dicht liegt, gibt es eine rationale Zahl y zwischen x und \(\sqrt2\), also mit \(x^2 < y^2 < 2\). Dann ist aber y in A und x kann daher kein Supremum sein. Widerspruch.
Fall 3: \(x^2 > 2\). Selbe Idee wie bei Fall 2, wir finden eine rationale Zahl y mit \(2 < y^2 < x^2\). Damit wäre y eine kleinere obere Schranke als x. Widerspruch.

Alle drei Fälle führen zu einem Widerspruch, also kann A in \(\mathbb{Q}\) kein Supremum haben.
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