Übung 3 Baryz. Koordinaten

Moderator: Graphische Datenverarbeitung 1

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Red*Star
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Übung 3 Baryz. Koordinaten

Beitrag von Red*Star »

Ich verstehe die Aufgabe 2.a.i irgendwie nicht so hundertprozentig:
Wir sollen bereits mit 3 Punkten im 3D-Raum die baryzentrischen Koordinaten von einem Dreieck berechnen?
Wie soll das gehen? Um die baryzentrischen Koordinaten in einem k-D-Raum zu berechnen, benötige ich doch ein k-Simplex, also im Fall k = 3 einen Tetraeder mit 4 Ecken. Sollen wir den linearen Teil des affinen 2D-Unterraums betrachten, in dem \(\Delta(ABC)\) liegt, und dann dort die baryzentrischen Koordinaten berechnen?
Nur: Wenn wir es so machen, dann können wir uns auch die anschließende Projektion in den 2D-Raum und erneute Berechnung der baryz. Koordinaten sparen! Also, was ist hier verlangt?
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- N.F.S. Grundtvig

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Dr.Cool
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Re: Übung 3 Baryz. Koordinaten

Beitrag von Dr.Cool »

k beschreibt hier nicht die Dimensionalität des Raums selbst, sondern die des affinen Unterraums, der durch die baryzentrischen Koordinaten beschrieben werden soll, d.h. k=1: Gerade, k=2: Dreieck, k=3: Tetraeder.
Die Punkte, für die im Fall k=2 (Dreieck) die baryzentrischen Koordinaten berechnet werden sollen, können n-dimensional sein (natürlich ist eine Berechnung der baryzentrischen Koordinaten als Dreieckflächenverhältnisse (Schwerpunkte) nur ab n=2 sinnvoll).
Hier ist also k=2 (Dreieck), und die pi (i=0,1,2) sind Punkte des R^3.
(http://www.gris.informatik.tu-darmstadt ... ection.pdf, slide 24)

joker
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Re: Übung 3 Baryz. Koordinaten

Beitrag von joker »

Wir sollen bereits mit 3 Punkten im 3D-Raum die baryzentrischen Koordinaten von einem Dreieck berechnen?
Nein. Man soll die baryzentischen Koordinaten von dem Punkt P1 bzw. P2 bzgl. dem Dreieck ABC berechnen.

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Red*Star
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Re: Übung 3 Baryz. Koordinaten

Beitrag von Red*Star »

Dr.Cool hat geschrieben:k beschreibt hier nicht die Dimensionalität des Raums selbst, sondern die des affinen Unterraums, der durch die baryzentrischen Koordinaten beschrieben werden soll, d.h. k=1: Gerade, k=2: Dreieck, k=3: Tetraeder.
Die Punkte, für die im Fall k=2 (Dreieck) die baryzentrischen Koordinaten berechnet werden sollen, können n-dimensional sein.

Hier ist also k=2 (Dreieck), und die pi (i=0,1,2) sind Punkte des R^3.
(http://www.gris.informatik.tu-darmstadt ... ection.pdf, slide 24)
Öhm... ja. Aber das ist doch gerade der springende Punkt: Wenn ich die baryzentrischen Koordinaten von \(P_i\) in Bezug auf den von ABC erzeugten 2-dimensionalen affinen Unterraum des \(\mathbb{R}^3\) berechne, was soll die anschließende Projektion auf die (je-nach-Normalenrichtung) xy/yz/zx-Ebene und *erneute* Berechnung der baryz. Koord.? Das ändert erstens an den durch die baryz. Koord. repräsentierten Flächenverhältnissen nichts und zweitens nichts an der Lage von \(P_i\) in Relation zu ABC...
Dr.Cool hat geschrieben:(natürlich ist eine Berechnung der baryzentrischen Koordinaten als Dreieckflächenverhältnisse (Schwerpunkte) nur ab n=2 sinnvoll).
@Schwerpunkte: Sehe ich nicht so. Wenn man physikalisch ein Problem eindimensional modelliert, dann gibt es trotzdem die Möglichkeit, eine anschauliche Schwerpunkts-Interpretation zu finden. Beispiel: Eine (masselose) Stange mit zwei Massen m und M links und rechts: Wo muss ich sie auflegen, damit sie im (labilen) Gleichgewicht ist. (Dass es sich dann nicht mehr um Dreiecke handelt und so der Begriff Dreiecksflächenverhältnis obsolet wird, ist natürlich klar ;). Sprechen wir bei den Schwerpunktssachen besser allgemein von k-Simplizes und ihren "Größen"-Verhältnissen.)

joker hat geschrieben:
Wir sollen bereits mit 3 Punkten im 3D-Raum die baryzentrischen Koordinaten von einem Dreieck berechnen?
Nein. Man soll die baryzentischen Koordinaten von dem Punkt P1 bzw. P2 bzgl. dem Dreieck ABC berechnen.
Jo, das war mir klar. Hab's dann aber wohl falsch formuliert. (Merke: Schreibe keine Posts nachts um 4. ;))
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Ronny
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Re: Übung 3 Baryz. Koordinaten

Beitrag von Ronny »

Red*Star hat geschrieben: Öhm... ja. Aber das ist doch gerade der springende Punkt: Wenn ich die baryzentrischen Koordinaten von \(P_i\) in Bezug auf den von ABC erzeugten 2-dimensionalen affinen Unterraum des \(\mathbb{R}^3\) berechne, was soll die anschließende Projektion auf die (je-nach-Normalenrichtung) xy/yz/zx-Ebene und *erneute* Berechnung der baryz. Koord.? Das ändert erstens an den durch die baryz. Koord. repräsentierten Flächenverhältnissen nichts und zweitens nichts an der Lage von \(P_i\) in Relation zu ABC...
Ich kann dazu nur darauf verweisen was am Ende der Teilaufgabe steht. Denn dort steht geschrieben: "Wie lauten die baryzentrischen Koordianten der projizierten Punkte? Was stellen Sie fest?"

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Red*Star
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Re: Übung 3 Baryz. Koordinaten

Beitrag von Red*Star »

*seufz*... ok, wenn ihr so darauf besteht, das Offensichtliche niederzuschreiben...

edit:
Doch noch mal ich. Sorry, aber je mehr ich darüber nachdenke, desto verwirrender wird der Aufgabentext: In der 2.a.ii.) steht "Sie können davon ausgehen, dass dessen Normale bereits bekannt ist.". Was macht das denn mit obigen Ergebnissen für einen Sinn? Nach obigen Ergebnissen brauchen wir doch offenbar überhaupt nichts zu projizieren - die Normale interessiert also gar nicht. Oder versteh ich jetzt was total falsch? :|
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citta
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Re: Übung 3 Baryz. Koordinaten

Beitrag von citta »

Erstmal eine Frage am Rande: Sollen wir den Rechnenweg bei der Umrechnung in baryzentrische Koordinaten dazuschreiben? Ist weniger spannend, aber sehr aufwändig...

Die eigentliche Frage: Sollen wir nach der Projektion auf der Ebene zwei oder drei baryzentrische Koordinaten ausrechnen?
Zwei Koordinaten ausrechnen und mit zweidimensionalen Vektoren weiterrechnen:
Man könnte die zweidimensionalen baryzentrischen Koordinaten ausrechnen. Der Test, ob der Punkt dann im Dreieck ist wäre dann, dass beide Koordinaten >= 0 sind und deren Summe <= 1.
Unsere Definition des Flächeninhalts (auf den Folien) ist jedoch immer positiv und der Algorithmus würde nicht korrekt arbeiten. Ggf. eine andere Definition verwenden?

Drei Koordinaten ausrechnen und mit dreidimensionalen Vektoren weiterrechnen:
Wieso projizieren wir das ganze dann auf eine Ebene?

Edit/Update: Okay, die Formeln mit dem Flächeninhalt sind wohl nur eine geometrische Interpretation. Es hilft eher die LGS zu lösen, dann ist die Projektion auf die Ebene auch hilfreich.

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