Hmm. Woher wissen Sie ob der Erreichbarkeitsgraph keinen Zyklus enthält?
Wenn Sie den Erreichbarkeitsgraph 'einfach' notieren, d.h. die Anzahl der Tokens der Stelle direkt als Zahl in den Zustand notieren, so wird der Erreichbarkeitsgraph unendlich groß. Ich glaube kaum, dass Sie diesen "komplett" gezeichnet haben.
Ansonsten könnte man noch die Tokens der Stellen über eine mathematische Formel ausdrücken. Dann würde man auch erkennen, dass der Erreichbarkeitsgraph einen Zyklus hat. Aufgrund der Kante mit 4 wird der allerdings auch etwas komplizierter und lässt sich jetzt hier nicht einfach in dem Forum per ASCII skizzieren. Betrachten wir doch mal ein leicht einfacheres Netz, wobei die Kante statt mit 4 mit 1 benutzt wird:
Code: Alles auswählen
| ,---.
| / \ /
| p1 ( + )----------+
| \ / \ |
| `---' |
| | |
| | |
| \|/ |
| +---------+ +-----'---+
| t1 +---------+ +-----,---+ t2
| | /|\
| \|/ |
| ,-'-. |
| / \ |
| p2 ( -----------+
| \ /
| `---'
Hierzu ist der Erreichbarkeitsgraph:
Code: Alles auswählen
| ,---. ,---.
| / \ t1 \ / \
| ( (1,0) )------------( (0,1) )
| \ / / \ /
| `/|\' t2 `-.-'
| +--------------------+
wobei an den Knoten die Anzahl der Tokens annotiert ist mit (#-Tokens in p1, #-Tokens in p2).
Dann erkennt man leicht den Zyklus.
Einfacher geht es aber direkt über die Definition von L1-Lebendigkeit:
"Eine Transition t ist L1-lebendig, falls es mindestens einen erreichbaren Folgezustand gibt in dem t feuern kann."
und
"Ein Petrinetz ist L1-lebendig, falls alle Transitionen L1-lebendig sind".
Schauen wir uns kurz die Transitionen von ihnen an:
Die rechte kann immer dann feuern, wenn in der unteren Stelle ein Token ist.
Die linke kann immer dann feuern, wenn in der oberen Stelle ein Token ist.
Der Initialzustand hat oben ein Token. Wird nun die linke Transition geschaltet, so haben wir oben kein Token mehr, dafür aber unten eines.
Danach kann die rechte Transition geschaltet werden. Nun kann die linke bis zu vier mal feuern (wir haben ja jetzt in der oberen Stelle vier Tokens). Aber egal wie oft (mind. einmal), es wird immer mind. ein Token in der unteren Stelle sein.
Somit kann immer ein erreichbarer Folgezustand "gefunden" werden, in dem erneut die rechte Transition feuern kann.
Dies bedeutet das sowohl die linke als auch rechte Transition L1-lebendig ist. Somit ist auch das Petri-Netz L1-lebendig.