Frage Übung 4

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Dennis
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Frage Übung 4

Beitrag von Dennis »

In der Musterlösung von 4.1b komme ich je nachdem wie ich oben beginne entweder direkt zur Lösung oder nur zur vorletzten Zeile. Mir ist leider nicht ganz klar, welche der Regeln zur Vereinfachung angewendet werden um von der vorletzten Zeile zur Letzen zu gelangen.

Hat das jemand wie in der Musterlösung gelöst und kann mir sagen, welche Theoreme etc. hier angewandt werden um z.B. "A-nicht und B und D" & "A-nicht und B und C-nicht" & "B und C-nicht und D" loszuwerden?

Gruß,
Dennis
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AlexB
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Re: Frage Übung 4

Beitrag von AlexB »

\(f(A,B,C,D)=A\bar{B} C+(\bar{A} +B+D)(AB\bar{D} +\bar{B})\)

\(\overline{f(A,B,C,D)}=\overline{A\bar{B} C+(\bar{A} +B+D)(AB\bar{D} +\bar{B} )}\)
\(=\overline{A\bar{B} C}\;\overline{(\bar{A} +B+D)(AB\bar{D} +\bar{B} )}\) hier wird deMorgan angewendet
\(=(\bar{A} +B+ \bar{C} )\overline{(\bar{A} +B+D)(AB\bar{D} +\bar{B} )}\) der erste Teil wird weiter nach deMorgan aufgelöst
\(=(\bar{A} +B+ \bar{C} )(A \bar{B} \bar{D}+\overline{AB \bar{D} }B)\) der zweite Teil der Formel wird ebenfalls nach deMorgan aufgelöst
\(=(\bar{A} +B+\bar{C} )(A\bar{B} \bar{D} +(\bar{A} +\bar{B} +D)B)\) noch einmal deMorgan
\(=(\bar{A} +B+\bar{C} )(A\bar{B} \bar{D} +\bar{A} B+\bar{B} B+DB)\) hier wurde ausmultipliziert
\(=(\bar{A} +B+\bar{C})(A\bar{B} \bar{D} +\bar{A} B+DB)\) der Ausdruck \(B\bar{B}\) ist immer 0, kann in der Summe also weggelassen werden
\(=\bar{A}(A\bar{B}\bar{D}+\bar{A} B+DB)+B(A\bar{B}\bar{D}+\bar{A} B+DB)+\bar{C}(A\bar{B}\bar{D}+\bar{A} B+DB)\) die zweite Klammer wird mit der ersten Klammer, d.h. mit \(\bar{A}\), mit \(B\) und mit \(\bar{C}\) multipliziert
\(=(\bar{A} A\bar{B}\bar{D}+\bar{A} B+\bar{A} BD)+(AB\bar{B}\bar{D}+\bar{A} B+BD)+(A\bar{B}\bar{C}\bar{D}+\bar{A} B\bar{C} +B\bar{C} D)\) im zweiten Schritt wird weiter ausmultipliziert
\(=\bar{A} B+\bar{A} BD+\bar{A} B+BD+A\bar{B}\bar{C}\bar{D}+\bar{A} B\bar{C}+B\bar{C} D\) da die Funktion nur noch aus Summen besteht, können die Klammern weggelassen werden. Zwei Ausdrücke fallen weg: \(A\bar{A}\bar{B}\bar{D}\), da der Teilterm durch\(A\bar{A}\) niemals 1 werden kann und aus analogem Grund \(AB\bar{B}\bar{D}\)
\(=\bar{A} B+BD+A\bar{B}\bar{C}\bar{D}\) im letzten Schritt können einige Terme mit folgendem Gedankenschritt weggelassen werden: In der Summe tauchen \(\bar{A}BD\) und \(\bar{A}B\) auf. Wenn \(\bar{A}BD\) wahr ist (d.h. \(A=0; B=D=1\)), dann ist auf jeden Fall \(\bar{A}B\) ebenfalls wahr. Um die Funktion zu erfüllen, wird \(\bar{A}BD\) daher nicht benötigt. Ebenso verhält es sich bei \(\bar{A}B\bar{C}\), da in der Funktion \(\bar{A}B\) auftaucht und bei \(B\bar{C}D\), da in der Funktion \(BD\) auftaucht.
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Diablo
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Re: Frage Übung 4

Beitrag von Diablo »

Wir haben es uns ein bisschen anders erläutert.

A'B + A'BD + A'B + BD + AB'C'D' + A'BC' + BC'D
t1 + t2 + t3 + t4 + t5 + t6 + t7
Dann haben wir den Term A'B ausgeklammert.

A'B * ( 1 + D + 1 + BC' ) + BD * (1 + C') + AB'C'D'
A'B * ( t1 + t2 + t3 + t6) + BD * (t4 + t7) + t5

= 1 + X = 1 also wird klammer komplett zu 1
= 1 * X = X also bleibt nur stehen was vor der Klammer stand

=> A'B + BD + AB'C'D'

.... Immer wenn ein Term in einem längeren enthalten ist und diese mit oder (+) verknüpft sind kann der längere Term wegen Ausklammerung gestrichen werden.

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AlexB
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Re: Frage Übung 4

Beitrag von AlexB »

Diablo hat geschrieben:Wir haben es uns ein bisschen anders erläutert.

A'B + A'BD + A'B + BD + AB'C'D' + A'BC' + BC'D
t1 + t2 + t3 + t4 + t5 + t6 + t7
Dann haben wir den Term A'B ausgeklammert.

A'B * ( 1 + D + 1 + BC' ) + BD * (1 + C') + AB'C'D'
A'B * ( t1 + t2 + t3 + t6) + BD * (t4 + t7) + t5

= 1 + X = 1 also wird klammer komplett zu 1
= 1 * X = X also bleibt nur stehen was vor der Klammer stand

=> A'B + BD + AB'C'D'

.... Immer wenn ein Term in einem längeren enthalten ist und diese mit oder (+) verknüpft sind kann der längere Term wegen Ausklammerung gestrichen werden.
Diese Aussage ist logisch äquivalent zum obigen Lösungsweg.
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ivoch
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Re: Frage Übung 4

Beitrag von ivoch »

AlexB hat geschrieben:\(=\bar{A} B+BD+A\bar{B}\bar{C}\bar{D}\) im letzten Schritt können einige Terme mit folgendem Gedankenschritt weggelassen werden: In der Summe tauchen \(\bar{A}BD\) und \(\bar{A}B\) auf. Wenn \(\bar{A}BD\) wahr ist (d.h. \(A=0; B=D=1\)), dann ist auf jeden Fall \(\bar{A}B\) ebenfalls wahr. Um die Funktion zu erfüllen, wird \(\bar{A}BD\) daher nicht benötigt. Ebenso verhält es sich bei \(\bar{A}B\bar{C}\), da in der Funktion \(\bar{A}B\) auftaucht und bei \(B\bar{C}D\), da in der Funktion \(BD\) auftaucht.
Sich diesen Gedankenschritt zu merken ist aber meiner Meinung nach schwerer, als wenn einfach nach den Rechenregeln vom Kapitel 2, Seite 25/26, insbesondere dem Vereinfachungstheorem (Nummer 10) geht:

Setze \(\bar{A}B=X\) und \(D=Y\). Also ist \(\bar{A}B+\bar{A}BD=\bar{A}B+(\bar{A}B)D=X+XY\) und man sieht gleich, dass dies dem Vereinfachungstheorem entspricht. Also \(\bar{A}B+\bar{A}BD=X+XY=X=\bar{A}B\).

Oder aber einfach ausklammern, wie Diablo schon erkannt hat: \(\bar{A}B+\bar{A}BD=\bar{A}B(1+D)=\bar{A}B(1)=\bar{A}B\)


Im Endeffekt muss man für sich entscheiden, welcher der Lösungswege ihm am einfachsten ist ;)

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Dennis
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Re: Frage Übung 4

Beitrag von Dennis »

Danke für die ausführlichen Beschreibungen!
Ich werds nochmal durchgehen und dann mal schaun ob ein :idea: aufgeht :wink:
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hi01ebub
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Re: Frage Übung 4

Beitrag von hi01ebub »

Ich hab noch eine Frage zur Aufgabe 3.
In der Musterlösung sind fast alle Lösungswege relativ lang. Aber man könnte doch a bis d viel einfach mit dem Vereinfachuntheorem lösen. Bei Aufgabe a und b muss man dann nur einmal das Vereinfachungstheorem anwenden und bei c und d zwei mal. Der Lösungsvorschlag für f ist ja schon kurz, ich glaube das geht auch nicht mehr kürzer.
Nun zur Frage: Ist das wirklich so möglich? Bzw. ist das auch für die Klausur zulässig? Und wenn das wirklich so geht, warum ist die Musterlösung dann so umständlich?

Ich danke schonmal für die Antworten.

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Re: Frage Übung 4

Beitrag von Mspringer »

Solange du die Regeln richtig anwendest, und nicht explizit irgendwelche Regeln in einer Aufgabe ausgeschlossen werden, kannst du auch die Vereinfachungstheoreme nutzen. Deine Frage "Ist das wirklich so möglich?" Kann ich dir jetzt auch nicht beantworten weil ich deine Lösung nicht kenne, aber ich glaube mich dran erinnern zu können, das es bei fast allen kürzer ging.
Im Allgemeinen solltest du dir vor Augen halten, das es sich bei Musterlösungen oftmals nur um "Lösungsvorschläge" handelt und nicht um die einzige mögliche Lösung. Es kann durch aus noch mehr Möglichkeiten geben, eine Aufgabe zu lösen.

hi01ebub
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Re: Frage Übung 4

Beitrag von hi01ebub »

Ok, danke.
Ich dachte nur, dass die Regel vielleicht ausgeschlossen ist, weil die MuLö so umständlich ist. Aber es gibt natürlich immer mehrere Lösungen für eine Aufgabe, auch wenn manche umständlicher sind.

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